Forme differenziali
Ciao a tutti, ho ancora alcuni dubbi con le forme differenziali, potreste aiutarmi con questo esercizio?
Dunque, il dominio è $R^2$ tranne la circonferenza di centro $(0,0)$ e raggio $1$.
Ho pensato di considerare il dominio come l'unione di due domini, $\Omega_1$ e $\Omega_2$.
Dal momento che $\Omega_1$ è un dominio semplicemente connesso e la forma differenziale è chiusa, la forma differenziale è ivi esatta e la circuitazione lungo ogni curva è uguale a zero, quindi il primo integrale vale zero (la circonferenza di centro l'origine e raggio $1/2$ è definita in $\Omega_1$).
Per quanto riguarda $\Omega_2$ invece, la forma differenziale è chiusa e il dominio non semplicemente connesso.
Non è esatta in quanto la circuitazione lungo la circonferenza di centro l'origine e raggio 8 è diversa da zero, e cioè 1.
Ora però non saprei come determinare il valore degli altri due integrali... qualche idea?
Grazie
Dunque, il dominio è $R^2$ tranne la circonferenza di centro $(0,0)$ e raggio $1$.
Ho pensato di considerare il dominio come l'unione di due domini, $\Omega_1$ e $\Omega_2$.
Dal momento che $\Omega_1$ è un dominio semplicemente connesso e la forma differenziale è chiusa, la forma differenziale è ivi esatta e la circuitazione lungo ogni curva è uguale a zero, quindi il primo integrale vale zero (la circonferenza di centro l'origine e raggio $1/2$ è definita in $\Omega_1$).
Per quanto riguarda $\Omega_2$ invece, la forma differenziale è chiusa e il dominio non semplicemente connesso.
Non è esatta in quanto la circuitazione lungo la circonferenza di centro l'origine e raggio 8 è diversa da zero, e cioè 1.
Ora però non saprei come determinare il valore degli altri due integrali... qualche idea?
Grazie
Risposte
Non so cosa tu abbia effettivamente fatto sulle forme differenziali.. Lo stesso discorso che hai fatto sul primo integrale puoi però anche farlo per l'ultimo in quanto, se restringi la forma ad un disco contenente la tua circonferenza, ottieni una forma chiusa in un dominio semplicemente connesso e ottieni così il risultato voluto. Per quanto riguarda l'integrale mancante posso soko farti osservare che la circonferenza di raggio 4 può essere trasformata in quella di raggio 8 con una trasformazione continua e viceversa.. cosa puoi dire di due integrali su cammini omotopicamente equivalenti?
"apatriarca":
Non so cosa tu abbia effettivamente fatto sulle forme differenziali.. Lo stesso discorso che hai fatto sul primo integrale puoi però anche farlo per l'ultimo in quanto, se restringi la forma ad un disco contenente la tua circonferenza, ottieni una forma chiusa in un dominio semplicemente connesso e ottieni così il risultato voluto. Per quanto riguarda l'integrale mancante posso soko farti osservare che la circonferenza di raggio 4 può essere trasformata in quella di raggio 8 con una trasformazione continua e viceversa.. cosa puoi dire di due integrali su cammini omotopicamente equivalenti?
Si, anche guardando altri topic sulle forme differenziali avevo visto questa cosa dell'omotopia, il fatto però è che il professore non ce ne ha parlato e quindi non potrei giustificarlo con questa spiegazione nel compito.
Ci ha dato le varie definizioni di forma diff. chiusa ed esatta, un corollario di Gauss-Green e il teorema di Gauss-Green nel piano. Per corollario intendo questo (ne parlavo anche in un altro topic):
Sia $D$ un dominio limitato racchiuso tra due curve, la cui frontiera è indicata con $partialD+$ (dove la curva interna è percorsa in senso orario ($\gamma_2$), quella esterna in senso antiorario ($\gamma_1$)) (in pratica è una corona circolare nel caso di due circonferenze). Allora:
$int_(partialD+) \omega=0 \Rightarrow int_(partial\gamma_1+) \omega + int_(partial\gamma_2-) \omega =0 \Rightarrow int_(partial\gamma_1+) \omega = int_(partial\gamma_2+) \omega$
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