Forme differenziali
Quando mi si chiede se una forma è chiusa o meno, basta verificare sempre e comunque che le derivate incrociate siano uguali, giusto? Se volessi anche sapere se è esatta in un insieme, posso sicuramente dirlo se quest'ultimo è semplicemente connesso, altrimenti non saprei dire altro, cioè potrebbe esserlo o no. Se l'insieme non è semplicemente connesso, come faccio a dire se è esatta o meno? Devo trovare una primitiva? Però non esiste sempre..?
Come faccio a dire se un insieme è sicuramente semplicemente connesso? Per esempio $R^2$ lo è, ma se a $R^2$ tolgo un punto, non lo è più, giusto? Se invece considero di $R^2$ solo il piano delle $x,y >0$ è semplicemente connesso?
Inoltre se ho una forma chiusa ma non esatta nel dominio che può essere $R^2$ meno l'origine, e magari ho verificato che esiste una circuitazione di una curva chiusa (circonferenza) diversa da zero, ergo ho dimostrato che non è esatta, se poi mi si chiede chiede di trovare la circuitazione su un triangolo di cui conosco le coordinate dei vertici? Come la trovo? Devo parametrizzare..?
Per calcolare quell'integrale uso il teorema di Green? L'integrale doppio mi viene uguale a $\alpha - 1$, ho risposto al primo punto no? Però lui dice che l'area è $1$....la forma poi è esatta in $R^2$ se le derivate incrociate sono uguali, per cui $\alpha = 1$ e in questo caso mi calcolo le primitive?
Come faccio a dire se un insieme è sicuramente semplicemente connesso? Per esempio $R^2$ lo è, ma se a $R^2$ tolgo un punto, non lo è più, giusto? Se invece considero di $R^2$ solo il piano delle $x,y >0$ è semplicemente connesso?
Inoltre se ho una forma chiusa ma non esatta nel dominio che può essere $R^2$ meno l'origine, e magari ho verificato che esiste una circuitazione di una curva chiusa (circonferenza) diversa da zero, ergo ho dimostrato che non è esatta, se poi mi si chiede chiede di trovare la circuitazione su un triangolo di cui conosco le coordinate dei vertici? Come la trovo? Devo parametrizzare..?
Per calcolare quell'integrale uso il teorema di Green? L'integrale doppio mi viene uguale a $\alpha - 1$, ho risposto al primo punto no? Però lui dice che l'area è $1$....la forma poi è esatta in $R^2$ se le derivate incrociate sono uguali, per cui $\alpha = 1$ e in questo caso mi calcolo le primitive?
Risposte
Grazie mille! Quindi più o meno ci stavo, l'unica cosa che non ho capito è come fare a parametrizzare un triangolo, mi faresti un esempio?
grazie mille
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