Formalizzare in analisi un passaggio di fisica
Ciao,
Vorrei porre una domanda stupida ma per cui non riesco a trovare una risposta che mi soddisfi, vorrei cioè formalizzare questo passaggio in termodinamica:
$1/(T-dT)-1/T~(dT)/T^2~0$
Nel passaggio indicato sembra trattare il dT a denominatore in modo diverso a quanto fa al numeratore.
Infatti prima mantiene il dT facendo denominatore comune
$(dT)/(T(T-dT))$ e poi dice essendo dT~0 allora ho $(dT)/(T(T-0))$, però perché non trascurarlo subito e scrivere: $1/(T-dT)-1/T~1/T-1/T$. Mi sembra infatti lo tratti in modi diversi nei suoi passaggi.
So che questo è un modus operandi molto ingegneristico e sbagliato, il differenziale non è alla leibnitz un "pezzettino", ho letto molte discussioni che mi hanno qui chiarito le idee (spesso anche molto accese, e non vedo il motivo). Tuttavia dovrei in qualche modo, per proseguire lo studio fisico bistrattarlo, e posso accettarlo.
Però vorrei capire in senso intuitivo cosa diamine abbia fatto.
Spero davvero in un aiuto e senza sollevare polemiche.
Vorrei porre una domanda stupida ma per cui non riesco a trovare una risposta che mi soddisfi, vorrei cioè formalizzare questo passaggio in termodinamica:
$1/(T-dT)-1/T~(dT)/T^2~0$
Nel passaggio indicato sembra trattare il dT a denominatore in modo diverso a quanto fa al numeratore.
Infatti prima mantiene il dT facendo denominatore comune
$(dT)/(T(T-dT))$ e poi dice essendo dT~0 allora ho $(dT)/(T(T-0))$, però perché non trascurarlo subito e scrivere: $1/(T-dT)-1/T~1/T-1/T$. Mi sembra infatti lo tratti in modi diversi nei suoi passaggi.
So che questo è un modus operandi molto ingegneristico e sbagliato, il differenziale non è alla leibnitz un "pezzettino", ho letto molte discussioni che mi hanno qui chiarito le idee (spesso anche molto accese, e non vedo il motivo). Tuttavia dovrei in qualche modo, per proseguire lo studio fisico bistrattarlo, e posso accettarlo.
Però vorrei capire in senso intuitivo cosa diamine abbia fatto.
Spero davvero in un aiuto e senza sollevare polemiche.
Risposte
Ciao lozaio,
Beh, quello che ha fatto lo hai già capito: al denominatore ha trascurato il termine $T \text{d}T $ rispetto al termine $T^2 $, cosa che non si può fare a numeratore perché a numeratore $\text{d}T $ è l'unica cosa che c'è...
"lozaio":
Però vorrei capire in senso intuitivo cosa diamine abbia fatto.
Beh, quello che ha fatto lo hai già capito: al denominatore ha trascurato il termine $T \text{d}T $ rispetto al termine $T^2 $, cosa che non si può fare a numeratore perché a numeratore $\text{d}T $ è l'unica cosa che c'è...
Ciao 
Sì sul senso ci sono, infatti. Secondo te sarebbe anche valido fare: trascuto dT al denominatore per $1/(T-dT)$ portandomi a $1/T$ e quindi avere $1/T-1/T$? Mi sembrava più comodo in realtà.
Sì sul senso ci sono, infatti. Secondo te sarebbe anche valido fare: trascuto dT al denominatore per $1/(T-dT)$ portandomi a $1/T$ e quindi avere $1/T-1/T$? Mi sembrava più comodo in realtà.
Quel calcolo non può esser fatto in questo modo.
Piuttosto, invece che trascurare termini "a casaccio" (per non dire peggio), prova a pensarla così: dato che $|"d"T| < 1$ allora:
$1/(T- "d"T) = 1/T * 1/(1 - ("d"T)/T) = 1/T * sum_(n=0)^oo (("d" T)/T)^n$,
(per serie geometrica) sicché, trascurando i termini d'ordine superiore al primo, ottieni:
$1/(T- "d"T) ~~ 1/T * (1 + ("d" T)/T)$
da cui:
$1/(T- "d"T) - 1/T ~~ ("d" T)/T^2$.
Oppure: l'approssimazione di Taylor al primo ordine per la funzione $f("d"T) = 1/(T - "d" T)$ in $"d"T=0$ è data da:
$f("d"T) ~~ f(0) + f'(0) * "d" T = 1/T + 1/T^2 * "d"T$
da cui di nuovo ricavi:
$1/(T- "d"T) - 1/T ~~ ("d" T)/T^2$.
Piuttosto, invece che trascurare termini "a casaccio" (per non dire peggio), prova a pensarla così: dato che $|"d"T| < 1$ allora:
$1/(T- "d"T) = 1/T * 1/(1 - ("d"T)/T) = 1/T * sum_(n=0)^oo (("d" T)/T)^n$,
(per serie geometrica) sicché, trascurando i termini d'ordine superiore al primo, ottieni:
$1/(T- "d"T) ~~ 1/T * (1 + ("d" T)/T)$
da cui:
$1/(T- "d"T) - 1/T ~~ ("d" T)/T^2$.
Oppure: l'approssimazione di Taylor al primo ordine per la funzione $f("d"T) = 1/(T - "d" T)$ in $"d"T=0$ è data da:
$f("d"T) ~~ f(0) + f'(0) * "d" T = 1/T + 1/T^2 * "d"T$
da cui di nuovo ricavi:
$1/(T- "d"T) - 1/T ~~ ("d" T)/T^2$.
@gugo: molto bella questa formalizzazione 
non ci avevo pensato minimamente.
C'è solo un punto che non mi è chiaro. Vedo bene la somma della serie geometrica di ragione $(dT)/T«1$ poiché $dT<1$, però non ho capito perché introdurla.
Nel senso che, nel passaggio successivo mi sembra che hai sviluppato con mc-laurin del binomio $(1+(dT)/T)^(1/2)$ trascurando gli ordini successivi al primo (mc-laurin perché centrato in dT/T che è "circa" zero).
Ma cosami serve $1/T * sum_(n=0)^oo (("d" T)/T)^n$ ?
Mi sfugge qualcosa.
PS: no ho detto una cavolata, la serie di mc-laurin coincide con la serie geometrica appunto da te indicata.
non ci avevo pensato minimamente.C'è solo un punto che non mi è chiaro. Vedo bene la somma della serie geometrica di ragione $(dT)/T«1$ poiché $dT<1$, però non ho capito perché introdurla.
Nel senso che, nel passaggio successivo mi sembra che hai sviluppato con mc-laurin del binomio $(1+(dT)/T)^(1/2)$ trascurando gli ordini successivi al primo (mc-laurin perché centrato in dT/T che è "circa" zero).
Ma cosami serve $1/T * sum_(n=0)^oo (("d" T)/T)^n$ ?
Mi sfugge qualcosa.
PS: no ho detto una cavolata, la serie di mc-laurin coincide con la serie geometrica appunto da te indicata.
"lozaio":
PS: no ho detto una cavolata, la serie di mc-laurin coincide con la serie geometrica appunto da te indicata.
Appunto...
Inoltre, ho modificato il post inserendo un altro punto di vista.
Mi preme però farti notare che l'Analisi serve solo a formalizzare questi passaggi; nei testi ingegneristici i conti si fanno tagliando tutto con l'accetta.
Sarà anche, ma il metodo di Eulero era prettamente ingegneristico, comunque bravo
"Lucacs":
Sarà anche, ma il metodo di Eulero era prettamente ingegneristico, comunque bravo
Scusa?
"gugo82":
Inoltre, ho modificato il post inserendo un altro punto di vista.
Non potevo chiedere di meglio, grazie mille. Entrambi chiarissime spiegazioni, così come
Mi preme però farti notare che l'Analisi serve solo a formalizzare questi passaggi; nei testi ingegneristici i conti si fanno tagliando tutto con l'accetta.
Verissimo, però da studente al primo anno so che devo farmi le ossa e capire il più possibile il perché delle cose, soprattutto conoscendo le mie scarsissime doti
. Ho una visione davvero limitata e ogni "accettata" può essere uno spunto di riflessione. E' anche vero che sarei dovuto arrivarci da solo, però spesso non ci riesco 
..Poi una volta capito, ovviamente, il metodo di pilloeffe è quello preferibile, però vorrei capire cosa faccio, diciamo
"Lucacs":
Sarà anche, ma il metodo di Eulero era prettamente ingegneristico, comunque bravo
Sai che non l'ho mica capita @Lucacs
Be le approssimazioni le fanno anche bene gli ingegneri, anzi le hanno inventate loro
"Lucacs":
Be le approssimazioni le fanno anche bene gli ingegneri, anzi le hanno inventate loro
Ah ok ho inteso ora
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