Forma sintetica di una produttoria
Sapreste dirmi, se esiste, qual è la forma sintetica della produttoria
$ prod_(y = 1)^(n) (1+y*x) $
Con y naturale e x razionale
Per esempio
$ prod_(y = 1)^(10) (1+0,05y) $
PS: è la prima volta che scrivo ma tante volte mi siete stati di aiuto, non mi sono presentato ma prometto di farlo appena possibile.
$ prod_(y = 1)^(n) (1+y*x) $
Con y naturale e x razionale
Per esempio
$ prod_(y = 1)^(10) (1+0,05y) $
PS: è la prima volta che scrivo ma tante volte mi siete stati di aiuto, non mi sono presentato ma prometto di farlo appena possibile.
Risposte
Troppo banale o troppo ostica che nessuno mi risponde? 
Spero di non aver sbagliato sezione.
Per favoreeeeee.... è un tantino urgente
Spero di non aver sbagliato sezione.
Per favoreeeeee.... è un tantino urgente
Cosa intendi con formula sintetica? La formula esplicita
\[
\prod_{y=1}^{n} (1+yx)=(1+x)\cdot (1+2x)\cdot ...\cdot (1+nx)
\]
o una ancora più sintetica? Edit: ah forse vuoi la formula esplicita. Ho chiesto a wolfram ma non mi sembra semplifichi niente: link.
\[
\prod_{y=1}^{n} (1+yx)=(1+x)\cdot (1+2x)\cdot ...\cdot (1+nx)
\]
o una ancora più sintetica? Edit: ah forse vuoi la formula esplicita. Ho chiesto a wolfram ma non mi sembra semplifichi niente: link.
Si esatto.
Mi servirebbe la formula esplicità del tipo:
$ sum_(x = \1->n) (1+y)^-x = (1-(1+y)^-n)/y $
Mi servirebbe la formula esplicità del tipo:
$ sum_(x = \1->n) (1+y)^-x = (1-(1+y)^-n)/y $
Non vorrei sbagliare perché è una notazione che non ho mai usato, ma seguendo il link
\[
\begin{split}
(x+1)x^{n-1}( 2+x^{-1})_{n-1}
&=(x+1)x^{n-1}[(2+x^{-1})((2+x^{-1})+1)...((2+x^{-1})+n-1)]
\end{split}
\]
Verifica guardando qui link e vedi se puoi semplificare, anche se ad occhio non mi sembra. A meno che non ti tieni direttamente la \(\Gamma\).
\[
\begin{split}
(x+1)x^{n-1}( 2+x^{-1})_{n-1}
&=(x+1)x^{n-1}[(2+x^{-1})((2+x^{-1})+1)...((2+x^{-1})+n-1)]
\end{split}
\]
Verifica guardando qui link e vedi se puoi semplificare, anche se ad occhio non mi sembra. A meno che non ti tieni direttamente la \(\Gamma\).
scusa l'ignoranza ma cosa vuol dire il pedice (n-1)?
Se vai a vedere il link c'è scritto.
Non avevo visto che Pochhammer Symbol era un link... quindi non c'è un soluzione esplicita.
Allora faccio un passo indietro
Sono partito dalla ricerca della forma esplicita di:
$ sum_(y = 1) ^ (n) (1+y*x)^-1 $ (1)
che ho riscritto come:
$ sum_(y = 1) ^ (n) (1+y*x)= z*prod_(y = 1)^(n) (1+y*x) $
perchè il lato sinistro è facilmente riscrivibile in forma esplicita ma, a questo punto, non il lato destro.
Secondo voi la (1) è riscrivibile in forma esplicita?
Allora faccio un passo indietro
Sono partito dalla ricerca della forma esplicita di:
$ sum_(y = 1) ^ (n) (1+y*x)^-1 $ (1)
che ho riscritto come:
$ sum_(y = 1) ^ (n) (1+y*x)= z*prod_(y = 1)^(n) (1+y*x) $
perchè il lato sinistro è facilmente riscrivibile in forma esplicita ma, a questo punto, non il lato destro.
Secondo voi la (1) è riscrivibile in forma esplicita?
Non credo esista una forma chiusa elementare per la somma (1), perché essa è troppo simile alla somma parziale di una serie armonica (le cui somme parziali non si possono esprimere in forma chiusa elementare).
Perché ti interessa scrivere esplicitamente quella roba lì?
Non potrebbe servirti qualcos'altro, tipo una maggiorazione/minorazione?
Perché ti interessa scrivere esplicitamente quella roba lì?
Non potrebbe servirti qualcos'altro, tipo una maggiorazione/minorazione?
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