Forma quadratica

[cicciapallina]

perchè una fora quadratica è una funzione continua?

[alberto861]

Le funzioni continue formano un'algebra rispetto al prodotto( se moltiplichi due funzioni continue hai una funzione continua ), ogni forma quadratica è contenuta nella sottoalgebra generata dalle funzioni coordinate la quali sono continue

[gugo82]

Detto in maniera più semplice, una forma quadratica [tex]$Q(x)$[/tex] è qualcosa di rappresentabile come:

[tex]$Q(x)=\langle x, A\ x\rangle$[/tex]

con [tex]$A$[/tex] matrice quadrata e [tex]$\langle \cdot ,\cdot \rangle$[/tex] prodotto scalare dello spazio in cui ti trovi.
Per la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz si trova:

[tex]$\lvert Q(x)-Q(y)\rvert \leq \lvert \langle x-y,A\ x\rangle \rvert +\lvert \langle y,A\ (x-y)\rangle \rvert$[/tex]
[tex]$\leq \lvert x-y\rvert \ \lvert A\ x\rvert + \lvert y\rvert \ \lvert A\ (x-y)\rvert$[/tex]
[tex]$\leq \lvert x-y\rvert \ \lVert A\rVert \ \lvert x\rvert + \lvert y\rvert \ \lVert A\rVert \ \lvert x-y\rvert$[/tex]
[tex]$=\left( \lVert A\rVert \ \lvert x\rvert + \lvert y\rvert \ \lVert A\rVert \right)\ |x-y|$[/tex]

in cui [tex]$\lVert \cdot \rVert$[/tex] è un'opportuna norma della matrice. Quando [tex]$x$[/tex] è intorno ad [tex]$y$[/tex] il fattore [tex]$\lVert A\rVert \ \lvert x\rvert + \lvert y\rvert \ \lVert A\rVert$[/tex] si può maggiorare con una costante [tex]$M\geq 0$[/tex], sicché definitivamente intorno ad [tex]$y$[/tex] risulta:

[tex]$\lvert Q(x)-Q(y)\rvert \leq M\ \lvert x-y\rvert$[/tex]

e perciò [tex]$\lim_{x\to y} Q(x)=Q(y)$[/tex]; quindi [tex]$Q$[/tex] è continua.