Forma indeterminata senza usare De L'Hospital

[Comeover]

$lim_(x->0) (ln(x+1)-ln(1+sinx))/x^3$=$lim_(x->0) (x-sinx)/x^3$ applicando la regolda di de L'Hospital il limite tende a $1/6$ tuttavia vorrei risolverlo usando solo i limiti notevoli.Come dovrei procedere?

[donald_zeka]

Non mi pare risolvibile con limiti notevoli, al più puoi usare Taylor.

[Comeover]

Come immaginavo, al piu sempre con de L'Hospital mi sono portato alla forma $lim_(x->0) (1-cosx)/(3x^2)=1/6$

[donald_zeka]

I limiti notevoli non sono altro che approssimazioni con Taylor di ordine $1$, in questo caso sono inutili dato che per risolvere questo limite bisogna andare fino all'ordine $3$, o usare Hopital.

[renat_1]

Attenzione, il primo passaggio non è che sia proprio corretto, hai avuto fortuna perché i termini di secondo e terzo grado si semplificano tutti nello sviluppo di taylor, ma se al posto del seno ci fosse stata un'altra funzione infinitesima probabilmente non ti sarebbe andata altrettanto bene

[Comeover]

Sempre con lo stesso "vincolo"(se possibile) vorrei chiedere di aiutarmi con un limite un po piu difficile
$lim_(x->infty) ((1+1/x)^x-e)/(ln(x/(x+1))$
applicando i limiti notevoli
$lim_(x->infty) (e-e)/(ln(x/(x+1)+1-1)$=$lim_(x->infty) (e-e)/(-1/(x+1))$ tuttavia non mi trovo con il risultato che è $1/2*e$

[Comeover]

"renat_":Attenzione, il primo passaggio non è che sia proprio corretto, hai avuto fortuna perché i termini di secondo e terzo grado si semplificano tutti nello sviluppo di taylor, ma se al posto del seno ci fosse stata un'altra funzione infinitesima probabilmente non ti sarebbe andata altrettanto bene

ho usato un limite notevole $(ln(1+f(x)))/f(x)->1$ per $f(x)->0 $,chiaramente per ottenerlo ho moltiplicato e diviso per $f(x)$

[renat_1]

"puppeteer":[quote="renat_"]Attenzione, il primo passaggio non è che sia proprio corretto, hai avuto fortuna perché i termini di secondo e terzo grado si semplificano tutti nello sviluppo di taylor, ma se al posto del seno ci fosse stata un'altra funzione infinitesima probabilmente non ti sarebbe andata altrettanto bene

ho usato un limite notevole $(ln(1+f(x)))/f(x)->1$ per $f(x)->0 $,chiaramente per ottenerlo ho moltiplicato e diviso per $f(x)$[/quote]
questo passaggio va bene solo quando $f(x)$ moltiplica tutto l'argomento del limite(il limite notevole lo mandi via usando la proprietà dei limiti che dice che il prodotto dei limiti è uguale la limite del prodotto degli argomenti) in caso contrario devi tener conto degli o piccoli

[renat_1]

piccolo aiuto:
$\frac{x}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}$

[Comeover]

"renat_":[quote="puppeteer"][quote="renat_"]Attenzione, il primo passaggio non è che sia proprio corretto, hai avuto fortuna perché i termini di secondo e terzo grado si semplificano tutti nello sviluppo di taylor, ma se al posto del seno ci fosse stata un'altra funzione infinitesima probabilmente non ti sarebbe andata altrettanto bene

ho usato un limite notevole $(ln(1+f(x)))/f(x)->1$ per $f(x)->0 $,chiaramente per ottenerlo ho moltiplicato e diviso per $f(x)$[/quote]
questo passaggio va bene solo quando $f(x)$ moltiplica tutto l'argomento del limite(il limite notevole lo mandi via usando la proprietà dei limiti che dice che il prodotto dei limiti è uguale la limite del prodotto degli argomenti) in caso contrario devi tener conto degli o piccoli[/quote]
Davvero continuo a non capire quale sia il problema,ho sempre utilizzato questo metodo...ho semplicemente moltiplicato e diviso per una stessa quantità per ricavarmi il limite not.

[G.D.5]

@ puppeteer

Puoi indicare come hai ottenuto il primo passaggio.
Ovvero: partendo da \( \displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\ln(1+x)-\ln(1+\sin x)}{x^{3}} \), che manipolazione hai compiuto per ottenere \( \displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{x - \sin x}{x^{3}} \)?

[G.D.5]

Come non detto: ho visto che lo hai già fatto qui.

[Comeover]

Si e adesso,come ho chiesto nell'apposita domanda nel link, mi chiedo è lecito questo 'artificio',cioè io l'ho seme usato,quando possibile e non mi ha mai dato problemi...

[Comeover]

@renat E' accettabile invece un procedimento del genere
Poichè $(1+x)/(1+sinx)->1$ per$x->0$
Quindi ora aggiungo e sottraggo 1 all'argomento
$lim_(x->0)((ln((1+x)/(1+sinx)+1-1))/x^3)$=$lim_(x->0)((ln((x-sinx)/(1+sinx)+1))/x^3)$/*prima di aver aggiunto e sottratto 1 ho applicato la prorpietà dei logaritmi*/
per ottenere $ln(1+f(x))$e moltiplico e divido per $(x-sinx)/(1+sinx)$
$lim_(x->0)(ln((x-sinx)/(1+sinx)+1))*[(x-sinx)/(1+sinx)]/[(x-sinx)/(1+sinx)]*1/x^3$

pper ottenere il limite notevole

$lim_(x->0)(ln((x-sinx)/(1+sinx)+1))/[(x-sinx)/(1+sinx)]=1$

Dopo essermi liberato dal logaritmo avrò
$lim_(x->0)[(x-sinx)/(1+sinx)]*1/x^3$