Forma indeterminata limite
Buongiono a tutti. ho incontrato delle difficoltà nel risolvere questo limite:
$\lim_{x \to \+infty}[(1+1/x)^x-e]x$
sostituendo $(1-1/x)^x = e$ risulta una forma indeterminata $ 0* infty$ .
a questo punto ho pensato di interpretare tale limite come $f(x)*g(x) = f(x)/(1/g(x))$ e applicare il teorema di de l'Hospital, ma non riesco ad uscirne.
Qualcuno può gentilmente darmi una mano?
Grazie in anticipo per eventuali risposte.
$\lim_{x \to \+infty}[(1+1/x)^x-e]x$
sostituendo $(1-1/x)^x = e$ risulta una forma indeterminata $ 0* infty$ .
a questo punto ho pensato di interpretare tale limite come $f(x)*g(x) = f(x)/(1/g(x))$ e applicare il teorema di de l'Hospital, ma non riesco ad uscirne.
Qualcuno può gentilmente darmi una mano?
Grazie in anticipo per eventuali risposte.
Risposte
Guarda che:
\[
\left( 1-\frac{1}{x}\right)^x \to e^{-1}\ldots
\]
\[
\left( 1-\frac{1}{x}\right)^x \to e^{-1}\ldots
\]
scusate ho sbagliato a riportare l'esercizio.
$ \lim_{x \to \+infty}[(1+1/x)^x-e]x $
$ \lim_{x \to \+infty}[(1+1/x)^x-e]x $
Potrebbe essere utile scrivere:
\[
\left( 1+\frac{1}{x}\right)^x = e^{x\ \ln \left( 1+\frac{1}{x} \right)}
\]
ed applicare i limiti notevoli e/o Taylor.
\[
\left( 1+\frac{1}{x}\right)^x = e^{x\ \ln \left( 1+\frac{1}{x} \right)}
\]
ed applicare i limiti notevoli e/o Taylor.
Dopo aver applicato la scrittura suggerita da gugo82, una volta De l'Hopital e poi alcuni limiti fondamentali ottengo come risultato $+\infty$. Ti torna? In tal caso mostro i passaggi...
No, decisamente non torna.
P.S.: Il teorema del marchese non serve.
P.S.: Il teorema del marchese non serve.
no... il risultato di wolfram alpha è $ -e/2 $ però scrivendo tutti i termini sottoforma di esponenziale non sono sicuro di poter passare a considerare gli esponenti. Anche con il suggeriemento non riesco ad arrivare al risultato.
Hai:
\[
\begin{split}
\lim_{x \to +\infty} \left[ \left(1+\frac{1}{x}\right)^x-e\right]\ x &= \lim_{x \to +\infty} \left[ e^{x\ \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)}-e\right]\ x\\
&= \lim_{x \to +\infty} e\ \left[ e^{x\ \ln \left(1+\frac{1}{x}\right) -1}-1\right]\ x\\
&\stackrel{\ln (1+y) = y-\frac{1}{2} y^2 \text{o}(y^2)}{=} \lim_{x \to +\infty} e\ \left[ e^{x\ \left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2} +\text{o}(\frac{1}{x^2})\right) -1}-1\right]\ x\\
&= \lim_{x \to +\infty} e\ \left[ e^{1 -\frac{1}{2x} +\text{o}(\frac{1}{x}) -1}-1\right]\ x\\
&= \lim_{x \to +\infty} e\ \left[ e^{-\frac{1}{2x} +\text{o}(\frac{1}{x})}-1\right]\ x\\
&\stackrel{e^y-1 = y+\text{o}(y)}{=} \lim_{x \to +\infty} e\ \left[ -\frac{1}{2x} +\text{o}\left( \frac{1}{x}\right)\right]\ x\\
&= \lim_{x \to +\infty} e\ \left[ -\frac{1}{2} +\text{o}( 1)\right]\\
&= \cdots
\end{split}
\]
\[
\begin{split}
\lim_{x \to +\infty} \left[ \left(1+\frac{1}{x}\right)^x-e\right]\ x &= \lim_{x \to +\infty} \left[ e^{x\ \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)}-e\right]\ x\\
&= \lim_{x \to +\infty} e\ \left[ e^{x\ \ln \left(1+\frac{1}{x}\right) -1}-1\right]\ x\\
&\stackrel{\ln (1+y) = y-\frac{1}{2} y^2 \text{o}(y^2)}{=} \lim_{x \to +\infty} e\ \left[ e^{x\ \left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2} +\text{o}(\frac{1}{x^2})\right) -1}-1\right]\ x\\
&= \lim_{x \to +\infty} e\ \left[ e^{1 -\frac{1}{2x} +\text{o}(\frac{1}{x}) -1}-1\right]\ x\\
&= \lim_{x \to +\infty} e\ \left[ e^{-\frac{1}{2x} +\text{o}(\frac{1}{x})}-1\right]\ x\\
&\stackrel{e^y-1 = y+\text{o}(y)}{=} \lim_{x \to +\infty} e\ \left[ -\frac{1}{2x} +\text{o}\left( \frac{1}{x}\right)\right]\ x\\
&= \lim_{x \to +\infty} e\ \left[ -\frac{1}{2} +\text{o}( 1)\right]\\
&= \cdots
\end{split}
\]
purtroppo non sono consentite le parolacce =) Grazie mille! adesso tento di capire bene i passaggi!
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