Forma indeterminata di un limite

[griloten]

Ciao, ho un problema con questo limite: $lim_(k->+oo) 3k(sqrt(k^2+8)-k)$ o meglio non capisco il metodo usato per aggirare la forma indeterminata $(+oo -oo)$ che ottengo dalla sostituzione dell'infinito nell'indice k. Infatti il testo mi dice di togliere dalla parentesi $-k$ minorando in questo modo l'argomento del limite; ovvero: $lim_(k->+oo) 3k(sqrt(k^2+8)-k)>=lim_(k->+oo) 3k (sqrt(k^2+8))$

Però le domande che allora mi pongo sono 2:
- consentitemi il termine ma il $-k$ che fine fa?? Scompare?!
- in base a quale regola o teorema viene deciso di minorare l'argomento del limite?

[pater46]

beh si, se minori o maggiori vuol dire che stai aggiungendo o sottraendo una certa quantità. Questo "trucchetto" si utilizza per provare la convergenza o la divergenza di un limite ( o successione, o serie.. dipende da dove lo applichi ).

In pratica, se tu hai che $a_n <= b_n forall n in NN$, e sai che $a_n$ diverge positivamente, allora ovviamente anche $b_n$ divergerà. Nelle serie questo procedimento è spesso usato, ed è comunemente noto come "Metodo del confronto".

Ovviamente quanto enunciato ora per le successioni vale anche per le funzioni, per le quali puoi trovare dimostrazione nel cosiddetto "Teorema dei carabinieri".

Ora, nel tuo caso, effettivamente mi pare strano che il tuo libro cerchi di minorare così il limite, in quanto levando il $-k$ al limite puoi maggiorare O mi sfugge qualcosa!