Forma indeterminata di tipo esponenziale

[tetravalenza]

Ciao, su un eserciziario ho trovato il seguente limite che presenta una forma indeterminata di tipo esponenziale
\[
\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{(\log x)^x}{x}
\]

l'autore risolve usando sia a numeratore che a denominatore la proprietà $e^{log f(x)}=f(x)$
\[
\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{(\log x)^x}{x} =\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{e^{x\log(\log x)}}{e^{\log x}}=\lim_{x\rightarrow +\infty}{e^{x\log (\log x)-\log x}}=+\infty
\]
Nell'esercizio precedente c'era un limite simile
\[
\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{(\log x)^{\log x}}{x}
\]
l'autore ha usato la sostituzione di variabile $y=\log x$. Perché non ha usato la sostituzione anche per questo limite?
\[
\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{(\log x)^x}{x}
\]
Io ho usato la sostituzione e giungo al limite
\[
\lim_{y\rightarrow +\infty}{e^{-y\cdot(-\frac{e^y}{y}\log y +1)}}=+\infty
\]
Si può procedere anche in questo modo?

[pilloeffe]

Ciao tetravalenza,

Ci possono essere molti modi per risolvere i limiti.
In questo caso ad esempio io avrei usato la regola di de l'Hôpital:

$ \lim_{x \to +\infty}\frac{(\log x)^x}{x} \stackrel[H]{=} \lim_{x \to +\infty} e^{x log(log x)}(log(log x) + 1/(log x)) = +\infty $

[tetravalenza]

OK, grazie.