Forma (grafico) di un insieme
Ciao a tutti!
Mi rendo conto di avere ancora difficolta' a comprendere la forma di un insieme data una sua descrizione come luogo geometrico di punti che soddisfino certe disequazioni/equazioni, nonostante i molti esercizi svolti sul tema.
Ad esempio, ho il seguente insieme
$ E={(x,y,z)^T in R^3: 1-z^2<=x^2+y^2<=1+z^2, 0<=z<=2} $
Il mio procedimento e' stato: spezzo la disuguaglianza nelle sue due parti, ed E sara' dato dall'intersezione degli insiemi definiti dalle due, che equivale a dire
$ E={(x,y,z)^T in R^3: 1-z^2<=x^2+y^2}nn {(x,y,z)^T in R^3: x^2+y^2<=1+z^2} $
Quindi il primo rappresenta il complementare di una sfera aperta di raggio $1$ e centro $(0,0,0)^T$, mentre il secondo non saprei rappresentarlo. L'insostituibile wolframalpha suggerisce si tratti di un one-sheeted paraboloid, che comunque non sarei in grado di rappresentare senza consultare internet.
Quindi, oltre alla forma specifica di questo insieme E, e a sapere se il mio procedimento sia corretto, sapreste darmi qualche consiglio/passi generali da seguire per riuscire a determinare la forma di un insieme?
L'altra cosa che mi ritrovo spesso a fare, e' quella di considerare particolari restrizioni dell'insieme in questione, ad esempio le restrizioni ai piani x=0,y=0.z=0.
Grazie in anticipo,
G
EDIT: stupidamente mi son dimenticato di fare quanto ho detto che invece di solito faccio, ovvero considerare le restrizioni ai piani x=0,y=0,z=0. Cosi' facendo ottengo evidentemente quello che e' il one-sheeted paraboloid.
Il resto delle mie domande resta comunque valido, c'e' qualche procedura standard oltre a quelle gia' citate che puo' aiutarmi ?
Mi rendo conto di avere ancora difficolta' a comprendere la forma di un insieme data una sua descrizione come luogo geometrico di punti che soddisfino certe disequazioni/equazioni, nonostante i molti esercizi svolti sul tema.
Ad esempio, ho il seguente insieme
$ E={(x,y,z)^T in R^3: 1-z^2<=x^2+y^2<=1+z^2, 0<=z<=2} $
Il mio procedimento e' stato: spezzo la disuguaglianza nelle sue due parti, ed E sara' dato dall'intersezione degli insiemi definiti dalle due, che equivale a dire
$ E={(x,y,z)^T in R^3: 1-z^2<=x^2+y^2}nn {(x,y,z)^T in R^3: x^2+y^2<=1+z^2} $
Quindi il primo rappresenta il complementare di una sfera aperta di raggio $1$ e centro $(0,0,0)^T$, mentre il secondo non saprei rappresentarlo. L'insostituibile wolframalpha suggerisce si tratti di un one-sheeted paraboloid, che comunque non sarei in grado di rappresentare senza consultare internet.
Quindi, oltre alla forma specifica di questo insieme E, e a sapere se il mio procedimento sia corretto, sapreste darmi qualche consiglio/passi generali da seguire per riuscire a determinare la forma di un insieme?
L'altra cosa che mi ritrovo spesso a fare, e' quella di considerare particolari restrizioni dell'insieme in questione, ad esempio le restrizioni ai piani x=0,y=0.z=0.
Grazie in anticipo,
G
EDIT: stupidamente mi son dimenticato di fare quanto ho detto che invece di solito faccio, ovvero considerare le restrizioni ai piani x=0,y=0,z=0. Cosi' facendo ottengo evidentemente quello che e' il one-sheeted paraboloid.
Il resto delle mie domande resta comunque valido, c'e' qualche procedura standard oltre a quelle gia' citate che puo' aiutarmi ?
Risposte
Ciao!
Esistono varie maniere per rendersi conto dell'andamento di una funzione, ma più o meno lo scopo è quello di semplificare il problema diminuendo le variabili in gioco. Una di queste maniere è la generalizzazione di ciò che compi guardando alle restrizioni sui piani \(x=0\), \(y=0\) e \(z=0\), che di per sé, fra tutti i piani a tua scelta, non sono esattamente i migliori. Infatti, considerando ad esempio la funzione \(f(x,y)=xy\), su amendue i piani \(xz\) e \(yz\) è costantemente nulla, ma da tale comportamento non si intuisce l'andamento che mantiene ovunque. Il trucco è prendere una qualunque "fetta" di \(f\) tagliandola con "ogni" piano: ci basta prendere \(y=\bar{y}\) da cui \(z=f(x,\bar{y})=\bar{y}x\), che sono rette d'inclinazione \(\bar{y}\), al variare di \(\bar{y}\). Equivalentemente per \(x=\bar{x}\).
Di significato analogo è, inoltre, uno studio degl'insiemi di livello.
Ancora, in base all'espressione della funzione, si applica una sostituzione adeguata ai fini della comprensione dell'andamento. L'insieme fornito dalla disequazione \(x^2+y^2\leq1+z^2\) si confà a questo tipo di approccio, secondo il cambio di variabili in coordinate cilindriche
\begin{cases}
x=\rho\cos{\theta}\\
y=\rho\sin{\theta}\\
z=t
\end{cases}
con \(\rho\in[0,\infty)\), \(\theta\in[0,2\pi)\), \(t\in[0,2]\); si ottiene: \(\rho^2\leq1+t^2\implies t\geq\sqrt{\rho^2-1}\), \(\,\forall\theta\) (da cui si capisce che tale funzione ha un "buco" in \((0,0)\) di raggio unitario e che è un iperboloide). Abbiamo ridotto il problema di due variabile a una sola variabile.
Considerazioni più ragguardevoli competono allo studio di funzione.
Esistono varie maniere per rendersi conto dell'andamento di una funzione, ma più o meno lo scopo è quello di semplificare il problema diminuendo le variabili in gioco. Una di queste maniere è la generalizzazione di ciò che compi guardando alle restrizioni sui piani \(x=0\), \(y=0\) e \(z=0\), che di per sé, fra tutti i piani a tua scelta, non sono esattamente i migliori. Infatti, considerando ad esempio la funzione \(f(x,y)=xy\), su amendue i piani \(xz\) e \(yz\) è costantemente nulla, ma da tale comportamento non si intuisce l'andamento che mantiene ovunque. Il trucco è prendere una qualunque "fetta" di \(f\) tagliandola con "ogni" piano: ci basta prendere \(y=\bar{y}\) da cui \(z=f(x,\bar{y})=\bar{y}x\), che sono rette d'inclinazione \(\bar{y}\), al variare di \(\bar{y}\). Equivalentemente per \(x=\bar{x}\).
Di significato analogo è, inoltre, uno studio degl'insiemi di livello.
Ancora, in base all'espressione della funzione, si applica una sostituzione adeguata ai fini della comprensione dell'andamento. L'insieme fornito dalla disequazione \(x^2+y^2\leq1+z^2\) si confà a questo tipo di approccio, secondo il cambio di variabili in coordinate cilindriche
\begin{cases}
x=\rho\cos{\theta}\\
y=\rho\sin{\theta}\\
z=t
\end{cases}
con \(\rho\in[0,\infty)\), \(\theta\in[0,2\pi)\), \(t\in[0,2]\); si ottiene: \(\rho^2\leq1+t^2\implies t\geq\sqrt{\rho^2-1}\), \(\,\forall\theta\) (da cui si capisce che tale funzione ha un "buco" in \((0,0)\) di raggio unitario e che è un iperboloide). Abbiamo ridotto il problema di due variabile a una sola variabile.
Considerazioni più ragguardevoli competono allo studio di funzione.
Grazie mille, molto chiaro.
Buona giornata!
G
Buona giornata!
G
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