Forma geometrica di Hahn-Banach

[Kroldar]

La forma geometrica del teorema di Hahn-Banach ci dà delle condizioni sufficienti per separare due sottoinsiemi convessi non vuoti disgiunti di uno spazio normato tramite un iperpiano chiuso. Questo teorema vale sia in dimensione finita che in dimensione infinita.
Mi chiedo se in dimensione finita la cosa sia banale, nel senso: in dimensione finita è sempre possibile separare due sottoinsiemi convessi disgiunti tramite un iperpiano chiuso?

[gugo82]

Definisci "sempre" e "separare" (come saprai ci sono diversi tipi di separazione, ad esempio debole e forte, quindi dovresti specificare quale intendi).

Ad esempio gli insiemi [tex]$\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2: y<-x^2\}$[/tex] e [tex]$\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2: y>x^2\}$[/tex] sono non vuoti, aperti, convessi e disgiunti e si possono separare solo debolmente.

[Fioravante Patrone1]

"Kroldar":Mi chiedo se in dimensione finita la cosa sia banale, nel senso: in dimensione finita è sempre possibile separare due sottoinsiemi convessi disgiunti tramite un iperpiano chiuso?

Banale, non direi (vedi teorema di separazione di Minkowsky). Poi, per certi geni anche H-B è banale!
Come dice gugo82, ci sono un po' di varianti da tenere conto, non è neanche necessario che i convessi siano disgiunti se ci si accontenta di una separzione "debole" nel senso del minore o uguale.

[Kroldar]

"gugo82":Definisci "sempre" e "separare" (come saprai ci sono diversi tipi di separazione, ad esempio debole e forte, quindi dovresti specificare quale intendi).

Con "sempre" intendo senza ipotesi aggiuntive. H-B fa delle ipotesi ulteriori sugli insiemi, per esempio che uno dei due sia aperto oppure che uno sia chiuso e l'altro compatto.
Per quanto riguarda la separazione, il mio libro distingue tra "separazione" e "separazione in senso stretto". Forse quella che io chiamo "separazione" tu la chiami "separazione debole" e la mia "separazione in senso stretto" è la tua "separazione forte". In ogni caso, per fugare ogni sorta di dubbio, riporto le definizioni che conosco.
Allora $X$ è uno spazio normato e $H$ un iperpiano affine di equazione $f = alpha$.
Diciamo che $H$ separa $A,B sub X$ se risulta $f(a)<=alpha<=f(b)$,$AA a in A$,$AA b in B$.
Diciamo che $H$ separa $A,B sub X$ in senso stretto se esiste $epsilon > 0$ tale che risulti $f(a)<=alpha-epsilon

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[Kroldar]

"Fioravante Patrone":
non è neanche necessario che i convessi siano disgiunti se ci si accontenta di una separzione "debole" nel senso del minore o uguale.

Ecco, allora in dimensioni finita (senza nemmeno supporre che i convessi siano disgiunti) una separazione o "separazione debole" che dir si voglia è sempre possibile. Grazie!

[gac1]

In $RR^n$, un teorema di separazione interessante, e che può essere dimostrato abbastanza facilmente con metodi elementari, è il seguente.

Siano $K, H$ due sottoinsiemi di $RR^n$ chiusi, convessi e disgiunti, con $K$ compatto.
Allora $K$ e $H$ possono essere separati in senso stretto; in altre parole, esistono $p\in RR^n$ ed $\epsilon > 0$ tali che
$\min\{p\cdot v: p\in K\} \ge "sup" \{p\cdot w: w\in H\} + \epsilon$.