Forma esplicita solv equazione differenziale

[maximus241]

salve, ho questa equazione:

\(\displaystyle y' = \frac{(3t^{2} +4t +2)}{2(y-1)} \)

risolvo per variabili separabili e vien fuori: \(\displaystyle y^{2} -2y = t^{3} +2t^{2} +2t + c \)

come faccio a mettere in forma esplicita l'equazione? D:

[Emar1]

Prova a ricostruire il quadrato al primo membro

[Sk_Anonymous]

Ciao.

E' chiaro che non avrai, come integrale generale dell'equazione differenziale, una funzione monodroma (cioè ad un solo "ramo").

Ponendo: $k(t)=t^3+2t^2+2t +c$

ti trovi l'equazione di secondo grado in $y$ data da:

$y^2-2y-k(t)=0 Rightarrow y_{1,2}(t)=1 pm sqrt(1+k(t))$

Almeno, io procederei in questo modo.

Saluti.

[maximus241]

quindi scrivo \(\displaystyle y^{2} -2y+1-1 = t^{3} +2t^{2} +2t + c \), da cui poi: \(\displaystyle y^{2} -2y +1 = t^{3} +2t^{2} +2t + c +1 \), dunque \(\displaystyle (y-1)^{2} = t^{3} +2t^{2} +2t + c +1 \), quindi:

\(\displaystyle y-1 = \pm \sqrt {t^{3} +2t^{2} +2t + c+1} \), alla fine: \(\displaystyle y =1 \pm \sqrt{t^{3} +2t^{2} +2t + c+1} \)

Infatti mi ritrovo, perfetto! non ci avevo pensato, cioè non stavo ragionando così semplicemente e non mi è venuto in mente, grazie mille!