Forma esplicita delle curve di livello

[ee4]

Non riesco a trovarmi con una piccola dimostrazione. Dato il sistema:

$V(x,v) = 1/2 v^2 + U(x) =E$
$U(x) = - \int f(x) dx$
con
$\dotx=v$
$\dotv = f(x)$

da cui si ottiene:
$v = sqrt(2(E-U(x)))$
$v = - sqrt(2(E-U(x)))$
da cui si ottiene anche:

$t_1 = \int (dx)/sqrt(2(E-U(x)))$
$t_2 = - \int (dx)/sqrt(2(E-U(x)))$

ho molta perplessità sul $t_2$ .... perchè è stata messa lo stesso come soluzione? Se volete posto direttamente, se è poco chiaro, uno screen della pagina del testo che uso.... perchè di domande ne ho molte su questo argomento (forma implicita dell'equazione delle curve di livello)

[ELWOOD1]

Eheh...la mitica discussione di Weierestrass. Perchè hai delle perplessità?Sei arrivato ad una conclusione corretta. D'altronde l'integrale primo è una funzione pari per cui $H(-t)=H(t)$

[ee4]

il t negativo mi stava annebbiando. Per la funzione $H$ intendi un qualunque integrale primo, e quindi anche l'integrale primo dell'energia? Cioè $d/dt V(x(t),v(t)) = 0$ per esempio...gode del fatto che: $d/dt V(x(-t),v(-t)) = d/dt V(x(t),v(t)) = 0$ ?

[ELWOOD1]

Si esatto, con $H$ intendevo proprio l'Hamiltoniana che è un integrale primo per eccellenza