Forma esatta nel dominio
Cosa significa determinare, se è possibile, $α(x, y)$ in modo che la forma $α(x, y)dx + lg(x^2 + y^2)dy$ sia esatta nel suo dominio ?
Risposte
Ma che sono queste domande a raffica, senza nemmeno un tentativo di soluzione. Hai l'esame domani? 
Quando una data forma differenziale si dice esatta?
Quando una data forma differenziale si dice esatta?
"Weierstress":
Ma che sono queste domande a raffica, senza nemmeno un tentativo di soluzione. Hai l'esame domani?
Quando una data forma differenziale si dice esatta?
il problema è che non ho alcun testo, nessuna traccia per la risoluzione e quindi non so come svolgere questi esercizi. Ho provato a leggere un po' da qualche parte ma mi disperdo facilmente non sapendo neppure cosa cercare esattamente. L'esame verte su queste tipologie di esercizi quindi se capisco qual è la logica per affrontarli ...
Allora ti rimando al buon vecchio Poincaré: se una forma è chiusa su un insieme semplicemente connesso, allora è anche esatta. Verificare la chiusura è semplice: è sufficiente vedere se data la forma \[\displaystyle \omega=\alpha(x,y)dx+\beta(x,y)dy \] si ha che le derivate parziali incrociate sono uguali, ovvero che \[\displaystyle \frac{\partial \alpha(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial \beta(x,y)}{\partial x} \] Nel tuo caso ovviamente da questa equazione puoi tirar fuori un modo per calcolarti la funzione incognita. Ricorda che la chiusura è sempre una condizione necessaria per l'esattezza ma mai sufficiente, se non quando appunto l'insieme di definizione è semplicemente connesso (detto in modo terra terra, non ha buchi - detto in modo più sofisticato, ha gruppo fondamentale banale).
Visto che dissonance ti proibisce espressamente di cercare su google, comunque, se non hai seguito il corso cerca di aprire il libro di teoria prima di metterti a fare esercizi. Vedrai che queste cose le puoi capire benissimo da solo
Visto che dissonance ti proibisce espressamente di cercare su google, comunque, se non hai seguito il corso cerca di aprire il libro di teoria prima di metterti a fare esercizi. Vedrai che queste cose le puoi capire benissimo da solo
"Weierstress":
Allora ti rimando al buon vecchio Poincaré: se una forma è chiusa su un insieme semplicemente connesso, allora è anche esatta. Verificare la chiusura è semplice: è sufficiente vedere se data la forma \[\displaystyle \omega=\alpha(x,y)dx+\beta(x,y)dy \] si ha che le derivate parziali incrociate sono uguali, ovvero che \[\displaystyle \frac{\partial \alpha(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial \beta(x,y)}{\partial x} \] Nel tuo caso ovviamente da questa equazione puoi tirar fuori un modo per calcolarti la funzione incognita. Ricorda che la chiusura è sempre una condizione necessaria per l'esattezza ma mai sufficiente, se non quando appunto l'insieme di definizione è semplicemente connesso (detto in modo terra terra, non ha buchi - detto in modo più sofisticato, ha gruppo fondamentale banale).
Visto che dissonance ti proibisce espressamente di cercare su google, comunque, se non hai seguito il corso cerca di aprire il libro di teoria prima di metterti a fare esercizi. Vedrai che queste cose le puoi capire benissimo da solo
Benissimo mi chiedo da dove partire:
ho appena iniziato a studiare le derivate direzionali e parziali ma non so cosa sia una forma, un insieme connesso.
Da dove posso partire per un approccio sistematico? Ho circa 15 giorni per prepararmi alla risoluzione degli esercizi e credo sia troppo poco ma vi chiedo ugualmente consigli per fare un tentativo.
La mia difficoltà sta nel capire qual è il grado di approfondimento necessario per la risoluzione degli esercizi.
Immagino avrai un libro di analisi a disposizione, nonché il programma d'esame. Segui quest'ultimo e terminato un capitolo (o mentre lo leggi, in base ai tuoi gusti) prova a svolgere qualche esercizio. Per le forme ti accorgerai che serve veramente poco prima di diventare operativi.
"Weierstress":
Immagino avrai un libro di analisi a disposizione, nonché il programma d'esame. Segui quest'ultimo e terminato un capitolo (o mentre lo leggi, in base ai tuoi gusti) prova a svolgere qualche esercizio. Per le forme ti accorgerai che serve veramente poco prima di diventare operativi.
non esiste un testo consigliato, solo dispense del prof che ha pubblicato sul suo sito ma non sufficienti per la risoluzione degli esercizi ma solo per quanto riguarda la preparazione esclusivamente orale.
Prenderne uno tu non è un opzione? Di eserciziari ne è pieno il mondo. In base a quello che studi prova a cercare su Internet, magari chiedi qui sul forum...
Noi possiamo sicuramente darti una mano ma non si può preparare tutto l'esame sul forum, al massimo si chiariscono i propri dubbi...
Comunque tornando al nostro esercizio, hai meditato su quello che ho scritto? Hai fatto un tentativo di risoluzione? Adesso hai tutti gli elementi.
Noi possiamo sicuramente darti una mano ma non si può preparare tutto l'esame sul forum, al massimo si chiariscono i propri dubbi...
Comunque tornando al nostro esercizio, hai meditato su quello che ho scritto? Hai fatto un tentativo di risoluzione? Adesso hai tutti gli elementi.
"Weierstress":
Prenderne uno tu non è un opzione? Di eserciziari ne è pieno il mondo. In base a quello che studi prova a cercare su Internet, magari chiedi qui sul forum...
Noi possiamo sicuramente darti una mano ma non si può preparare tutto l'esame sul forum, al massimo si chiariscono i propri dubbi...
Comunque tornando al nostro esercizio, hai meditato su quello che ho scritto? Hai fatto un tentativo di risoluzione? Adesso hai tutti gli elementi.
Si grazie, sto provando a leggere/studiare su **** forme, chiusura, ... e via dicendo come mi avete consigliato per capire meglio.
"Weierstress":
Allora ti rimando al buon vecchio Poincaré: se una forma è chiusa su un insieme semplicemente connesso, allora è anche esatta. Verificare la chiusura è semplice: è sufficiente vedere se data la forma \[\displaystyle \omega=\alpha(x,y)dx+\beta(x,y)dy \] si ha che le derivate parziali incrociate sono uguali, ovvero che \[\displaystyle \frac{\partial \alpha(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial \beta(x,y)}{\partial x} \] Nel tuo caso ovviamente da questa equazione puoi tirar fuori un modo per calcolarti la funzione incognita. Ricorda che la chiusura è sempre una condizione necessaria per l'esattezza ma mai sufficiente, se non quando appunto l'insieme di definizione è semplicemente connesso (detto in modo terra terra, non ha buchi - detto in modo più sofisticato, ha gruppo fondamentale banale).
Visto che dissonance ti proibisce espressamente di cercare su google, comunque, se non hai seguito il corso cerca di aprire il libro di teoria prima di metterti a fare esercizi. Vedrai che queste cose le puoi capire benissimo da solo
MI sono letto un po' di cosette e secondo me la soluzione è $2 arctan(y/x)$, in quanto la sua derivata parziale rispetto a $y$ è uguale all'altra rispetto a $x$ per cui la forma differenziale è chiusa.
Avevo 5 risposte possibili ed ho scelto questa altrimenti non avrei mai indovinato perché era difficile capire quale fosse la funzione la cui derivata rispetto a $y$ producesse $2x/(x^2+y^2)$.
Ho difficoltà a capire se l'insieme che rappresenta il dominio della forma differenziale è connesso, il dominio secondo me è $x^2+y^2>1$ e $x!=0$ ? Se riuscissi a determinare ciò potrei affermare per Poincarè che la forma è esatta.
Non puoi basarti su una risposta multipla per avere la sicurezza di ciò che fai... scusami, quello che devi fare non è (necessariamente) andare a occhio, ti basta integrare quella funzione.
Detto questo, abbiamo detto che parlando in modo informale un dominio è semplicemente connesso quando non ha buchi. Nel tuo caso è vera questa affermazione?
Detto questo, abbiamo detto che parlando in modo informale un dominio è semplicemente connesso quando non ha buchi. Nel tuo caso è vera questa affermazione?
Per la seconda risposta l'affermazione è vera secondo me, riflettendoci il dominio è rappresentato dall'esterno del cerchio di raggio uno con centro nell'origine che in interseca con l'area compresa tra le due rette determinata da $-pi/2x
Per l'integrazione devo allenarmi.
Grazie per il prezioso aiuto e la pazienza!
Per l'integrazione devo allenarmi.
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