Forma differenziale...è esatta?
salve a tutti,
ho questa forma differenziale: $\omega(x,y): x/(sqrt(x^2+y^2))dx+y/(sqrt(x^2+y^2))dy$
devo stabilire se è esatta.
Per essere esatta deve essere chiusa e il dominio deve essere semplicemente connesso.
Siccome le derivate miste sono uguali è chiusa, ma il mio problema è il dominio che è $x^2+y^2>0$
E' semplicemente connesso..io credo di no poichè c'è un "buco" in zero.
E' così? Fatemi sapere.
Grazie!
ho questa forma differenziale: $\omega(x,y): x/(sqrt(x^2+y^2))dx+y/(sqrt(x^2+y^2))dy$
devo stabilire se è esatta.
Per essere esatta deve essere chiusa e il dominio deve essere semplicemente connesso.
Siccome le derivate miste sono uguali è chiusa, ma il mio problema è il dominio che è $x^2+y^2>0$
E' semplicemente connesso..io credo di no poichè c'è un "buco" in zero.
E' così? Fatemi sapere.
Grazie!
Risposte
Sei sicuro che la forma sia esatta solo quando sia chiusa e il dominio semplicmente connesso? 
Prova a integrare la forma lungo un circuito che allaccia l'origine (il dominio è il piano bucato di quel punto, infatti). Se non ricordo male, laddove quell'integrale faccia 0 la forma è esatta. Dovrebbe venire zero (sceliendo per comodità la circonferenza unitaria) perchè
[tex]\int_0^{2\pi} \omega(\cos t,\sin t)\cdot(-\sin t,\cos t)\, dt = 0[/tex]
Prova a integrare la forma lungo un circuito che allaccia l'origine (il dominio è il piano bucato di quel punto, infatti). Se non ricordo male, laddove quell'integrale faccia 0 la forma è esatta. Dovrebbe venire zero (sceliendo per comodità la circonferenza unitaria) perchè
[tex]\int_0^{2\pi} \omega(\cos t,\sin t)\cdot(-\sin t,\cos t)\, dt = 0[/tex]
hai ragione...grazie!
Inoltre noto che la primitiva di quella forma differenziale si vede "ad occhio nudo": è del tipo [tex]$u(x,y)=\sqrt{x^2+y^2} + \text{costante}$[/tex].
Si vede anche che la forma $omega$ è associata al campo vettoriale $(x/sqrt(x^2 + y^2) , y/sqrt(x^2 + y^2) ) = 1/r vec{r} = hat{r}$.
Si potrebbe dimostrare che i campi vettoriali radiali, cioè del tipo $f(r) hat{r}$, definiti su $RR^n -{0}$, sono conservativi, cioè la corrispondente forma differenziale è esatta.
Si potrebbe dimostrare che i campi vettoriali radiali, cioè del tipo $f(r) hat{r}$, definiti su $RR^n -{0}$, sono conservativi, cioè la corrispondente forma differenziale è esatta.
Qual è il metodo per calcolare una primitiva?
Io ho fatto: $\int x/(sqrt(x2+y^2))dx=(sqrt(2))/2 x+g(y)$
$d/(dy)=(sqrt(2))/2 x=0$ dunque $g'(y)=0 rArr g(y)=c$ e la primitiva mi da $(sqrt(2))/2 x + c$ che è sbagliata...
Come devo calcolarla?
Grazie.
Io ho fatto: $\int x/(sqrt(x2+y^2))dx=(sqrt(2))/2 x+g(y)$
$d/(dy)=(sqrt(2))/2 x=0$ dunque $g'(y)=0 rArr g(y)=c$ e la primitiva mi da $(sqrt(2))/2 x + c$ che è sbagliata...
Come devo calcolarla?
Grazie.
Prova a dare un'occhiata a questa vecchia discussione:
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#338316
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#338316
Grazie dissonance!!
sbagli quando fai g'(y)=0
se parti da una forma differenziale w=F1dx+F2dy
integri F1 rispetto a x trovi una primitiva in x + una costante dipendente da y
ora derivi tutto rispetto a y e lo imponi uguale a F2 non a 0!!!
se parti da una forma differenziale w=F1dx+F2dy
integri F1 rispetto a x trovi una primitiva in x + una costante dipendente da y
ora derivi tutto rispetto a y e lo imponi uguale a F2 non a 0!!!
si hai ragione....ma non mi esce lo stesso 
devo porre il risultato dell'integrale (cioè $0$) $=F2$ e ottengo $y/(sqrt(x^2+y^2))+ c=0$
Poi cosa devo fare?
devo porre il risultato dell'integrale (cioè $0$) $=F2$ e ottengo $y/(sqrt(x^2+y^2))+ c=0$
Poi cosa devo fare?
partiamo dall'inizio=
$\int $(x)/($sqrt(x^2+y^2))$$ dx$ = $sqrt(x^2+y^2)$ +c(y)
ora fai la derivata di $sqrt(x^2+y^2)$ +c(y) = y/$sqrt(x^2+y^2)$ +c'(y)
ora uguaglia y/$sqrt(x^2+y^2)$ +c'(y) alla tua F2 che è proprio y/$sqrt(x^2+y^2)$
cioè
y/$sqrt(x^2+y^2)$ +c'(y) = y/$sqrt(x^2+y^2)$
i termini y/$sqrt(x^2+y^2)$ si semplificano tra loro e ti rimane
c'(y)=0 da cui c(y)=c se tu avessi avuto più pezzi cioè non ti si semplificava tutto dovevi integrare quello che ti rimaneva
ora rimoti i pezzi e hai
primitiva = $sqrt(x^2+y^2)$ +c
come ti avevano detto gli altri
scusa per la forma ma non mi riusciva far apparire la divisione
$\int $(x)/($sqrt(x^2+y^2))$$ dx$ = $sqrt(x^2+y^2)$ +c(y)
ora fai la derivata di $sqrt(x^2+y^2)$ +c(y) = y/$sqrt(x^2+y^2)$ +c'(y)
ora uguaglia y/$sqrt(x^2+y^2)$ +c'(y) alla tua F2 che è proprio y/$sqrt(x^2+y^2)$
cioè
y/$sqrt(x^2+y^2)$ +c'(y) = y/$sqrt(x^2+y^2)$
i termini y/$sqrt(x^2+y^2)$ si semplificano tra loro e ti rimane
c'(y)=0 da cui c(y)=c se tu avessi avuto più pezzi cioè non ti si semplificava tutto dovevi integrare quello che ti rimaneva
ora rimoti i pezzi e hai
primitiva = $sqrt(x^2+y^2)$ +c
come ti avevano detto gli altri
scusa per la forma ma non mi riusciva far apparire la divisione
Ah..grazie...avevo sbagliato l'integrale! 
Devi mettere il simbolo del dollaro solo all'inizio e alla fine delle tue formule!
Ancora grazie..
"Moai89":
scusa per la forma ma non mi riusciva far apparire la divisione
Devi mettere il simbolo del dollaro solo all'inizio e alla fine delle tue formule!
Ancora grazie..
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