Forma differenziale verifica del risultato
Salve a tutti, devo verificare il seguente risultato di una forma differenziale.
Sia $\omega -= (2xlog(x+y) + x^2/(x+y))dx +x^2/(x+y) dy$
verificare che $\phi$ $int_A^B \omega = log(128)$ dove $A=(1,1)$, e $B=(2,2)$ e $\phi ={x=t, y =t} t in [1,2]$
a me viene $log(128) + (3/4)$
Ho fatto alcune volte il calcolo, ma viene sempre questo risultato, tra l'altro non trattandosi di integrali difficili non riesco a capire come possa venire $log(128)$
Suggerimenti?
Sia $\omega -= (2xlog(x+y) + x^2/(x+y))dx +x^2/(x+y) dy$
verificare che $\phi$ $int_A^B \omega = log(128)$ dove $A=(1,1)$, e $B=(2,2)$ e $\phi ={x=t, y =t} t in [1,2]$
a me viene $log(128) + (3/4)$
Ho fatto alcune volte il calcolo, ma viene sempre questo risultato, tra l'altro non trattandosi di integrali difficili non riesco a capire come possa venire $log(128)$
Suggerimenti?
Risposte
Non è chiaro cosa sia $\phi$ davanti all'integrale della forma; forse è la "curva" lungo cui vuoi calcolare l'integrale?
Il risultato giusto è $\log(128)$. Come hai svolto l'esercizio? Hai verificato che la forma è esatta? Da quello che dici, mi pare di capire che tu abbia calcolato l'integrale... e ti assicuro che non era necessario.
"ciampax":
Il risultato giusto è $\log(128)$. Come hai svolto l'esercizio? Hai verificato che la forma è esatta? Da quello che dici, mi pare di capire che tu abbia calcolato l'integrale... e ti assicuro che non era necessario.
Non ho verificato che fosse esatta, ed ho calcolato l'integrale che verrebbe $int_1^2 2tlog(2t) +t^2/(2t) + t^2/(2t) dt$, cioè $int_1^2 2tlog(2t) + t dt$ che se non ho fatto male l'integrale verrebbe $[t^2log(2t) - t^2/4 +t^2/2]$ calcolato tra $1$ e $2$.
Ecco in questo modo mi viene quel risultato
Cosa avrei dovuto fare o vedere, in altre parole dove sto sbagliando?
Grazie a tutti
Emanuele
Ho controllato se la forma fosse chiusa e quindi esatta ma non lo è. Mi rimane sempre il dubbio sull'integrale, l'unica spiegazione è che stia sbagliando proprio l'integrale, ma non riesco a capire in quale punto
\( \frac{\partial}{\partial y}\left(2x\log(x+y)+\frac{x^{2}}{x+y}\right)=\frac{x(x+2y)}{(x+y)^{2}}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x^{2}}{x+y}\right)\)...
emanuele, come ti sta facendo notare anche maxsiviero, la forma è chiusa e quindi esatta (almeno lo è su un dominio contenete quei punti). pertanto basta calcolare il suo potenziale e sostituire i valori estremali.
Ragazzi, grazie dei consigli, avevo sbagliato a fare la derivata del primo argomento (quello con il logaritmo) poichè l'avevo fatto rispetto a $x$. Ho calcolato il potenziale considerando l'argomento in $dy$ il cui integrale è $x^2*log(x+y)$ e considerando gli estremi viene corretto il risultato.
D'accordo è corretto, ma sapete ormai ho un tarlo in testa, dove è che sbaglio nell'altro metodo risolutivo?
Lo vorrei sapere anche perchè qualora dovessi avere una forma non esatta, e non potrei ricorrere al calcolo del potenziale, sarei costretto a trovarmi la primitiva utilizzando quel metodo, e non vorrei stia facendo qualche errore logico piuttosto che di calcolo.
Grazie a tutti
Emanuele
D'accordo è corretto, ma sapete ormai ho un tarlo in testa, dove è che sbaglio nell'altro metodo risolutivo?
Lo vorrei sapere anche perchè qualora dovessi avere una forma non esatta, e non potrei ricorrere al calcolo del potenziale, sarei costretto a trovarmi la primitiva utilizzando quel metodo, e non vorrei stia facendo qualche errore logico piuttosto che di calcolo.
Grazie a tutti
Emanuele
L'integrale da calcolare risulta
$\int_1^2[2t\log(2t)+t]\ dt=\int_1^2 2t\log(2t)\ dt+3/2=3/2+t^2\log(2t)|_1^2-\int_1^2 t^2\ 1/t\ dt=3/2+4\log 4-\log 2-3/2=\log 2^7$
scusa se sono stato conciso, ma ho segnalato solo i passaggi fondamentali e saltato i meri calcoli.
$\int_1^2[2t\log(2t)+t]\ dt=\int_1^2 2t\log(2t)\ dt+3/2=3/2+t^2\log(2t)|_1^2-\int_1^2 t^2\ 1/t\ dt=3/2+4\log 4-\log 2-3/2=\log 2^7$
scusa se sono stato conciso, ma ho segnalato solo i passaggi fondamentali e saltato i meri calcoli.
Ho trovato l'errore, era nel calcolo dell'integrale.
Grazie
Emanuele
Grazie
Emanuele
"ciampax":
L'integrale da calcolare risulta
$\int_1^2[2t\log(2t)+t]\ dt=\int_1^2 2t\log(2t)\ dt+3/2=3/2+t^2\log(2t)|_1^2-\int_1^2 t^2\ 1/t\ dt=3/2+4\log 4-\log 2-3/2=\log 2^7$
scusa se sono stato conciso, ma ho segnalato solo i passaggi fondamentali e saltato i meri calcoli.
Si l'ho trovato pure io, era un errore nel calcolo.
Credo di avere il cervello fuso, sono vicino all'esame e non sono lucido.
Ho ancora qualche giorno di tempo per preparmi.
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