Forma differenziale su dominio non stellato
Salve a tutti! Questo è il mio primo post e volevo intanto farvi i complimenti per il sito che mi è stato spesso molto utile.
Ho dei problemi con questo esercizio:
Verificare che la forma differenziale
\(\displaystyle [(e^(x^2+y^2)/(1+x+y))+2\ln(1+x+y)x(e^(x^2+y^2)]dx+ [(e^(x^2+y^2)/(1+x+y))+2\ln(1+x+y)y(e^(x^2+y^2)]dy \)
è esatta nel dominio \(\displaystyle {(x,y)\in\Re^2:(x+y)<1} \)
Si verifica facilmente che è chiusa calcolando le derivate in croce, però faccio fatica a dimostrare che è esatta dato che il dominio non è stellato.
Mi riuscite a dare una mano?
Ps scusate se le formule non sono perfette ma è la prima volta che scrivo in LaTex
Ho dei problemi con questo esercizio:
Verificare che la forma differenziale
\(\displaystyle [(e^(x^2+y^2)/(1+x+y))+2\ln(1+x+y)x(e^(x^2+y^2)]dx+ [(e^(x^2+y^2)/(1+x+y))+2\ln(1+x+y)y(e^(x^2+y^2)]dy \)
è esatta nel dominio \(\displaystyle {(x,y)\in\Re^2:(x+y)<1} \)
Si verifica facilmente che è chiusa calcolando le derivate in croce, però faccio fatica a dimostrare che è esatta dato che il dominio non è stellato.
Mi riuscite a dare una mano?
Ps scusate se le formule non sono perfette ma è la prima volta che scrivo in LaTex
Risposte
Se non erro il dominio è semplicemente connesso, il che, con la chiusura e la continuità delle derivate, garantisce l'esattezza.
Hai ragione ho sbagliato a scrivere scusami, il dominio sono gli x+y>1
Che è comunque semplicemente connesso, o sbaglio? Peraltro, a me sembrano tutti e due banalmente stellati perché convessi...
No non mi sembra semplicemente connesso perché c'è un "buco" al centro e non è vero che ogni cappio è omotopo ad un punto
Ma che dominio guardi? A me $x+y>1$ pare un semipiano convesso, con tutte le proprietà del caso. Il semipiano a "destra" della retta $y=1-x$.
Hai ragione mi sono totalmente confuso, grazie!:D
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo