Forma differenziale ! Sto impazzendo !

[Justine90]

Un saluto a tutti i matematici del forum

Vi propongo la traccia di un esercizio che mi sta struggendo e vi presento il mio
enorme ( gigantesco ) dubbio.



In sostanza verifico che la forma sia chiusa, calcolando le derivate a incrocio, e arrivo a dire che la forma sia esatta in ogni dominio
connesso o semp. connesso contenuto in $R^2-[x=0]$
Al che provo a calcolare una primitiva per poterla valutare negli estremi del segmento ma mi ritrovo
a dover affrontare due integrali che ( apparentemente ) non sembrano avere soluzione ...
mi spiego : non riesco a trovare nulla su di essi in rete !

Parlo dell'integrale di $cos(1/x)$ e di $sin(1/x)$...
probabilmente devo aver perso la lezione in cui evidenziavano questa particolarità ...

insomma, al di la del procedimento che mi porterebbe al calcolo dell integrale curvilineo, come affronto
questi due integrali ?

grazie in anticipo,

[Justine90]

up ^^ qualcuno ha delle dritte su come risolvere la forma ?

[antani2]

Non sono integrali elementari, ovvero non risci ad esprimerli in termini di funzioni elementari

[Ska1]

Per trovare la funzione potenziale, potresti provare a integrare [tex]$f_y(x,y) = 2y \cos\left (\frac{1}{x}\right )$[/tex] rispetto a [tex]$y$[/tex]. In questo modo ottieni che [tex]$f(x,y) = y^2 \cos\left (\frac{1}{x}\right ) + h(x) + c$[/tex]. A questo punto bisogna determinare [tex]$h(x)$[/tex] tale per cui [tex]$f_x(x,y) = 2x \cos\left (\frac{1}{x}\right ) + (1+\frac{y^2}{x^2}) \sin \left (\frac{1}{x}\right )$[/tex] da cui si ricava che [tex]$h'(x) = 2x \cos\left (\frac{1}{x}\right ) + \sin \left (\frac{1}{x}\right )$[/tex]

A questo punto [tex]$h(x) = x^2 \cos\left (\frac{1}{x}\right ) + d$[/tex]

E quindi si può scrivere che [tex]$f(x,y) = y^2 \cos\left (\frac{1}{x}\right ) + x^2 \cos\left (\frac{1}{x}\right ) + h$[/tex] e questa è tale per cui [tex]$\nabla f \cdot (dx, dy) = \omega$[/tex]

A questo punto risolvere l'integrale curvilineo è facile.

[Justine90]

grazie infinite ^__^ effettivamente sbagliavo spezzando l integrale di H'(x) in due pezzi senza rendermi conto
che avevo davanti la derivata di un prodotto.

Ancora grazie per la dritta davvero gentilissimo