Forma differenziale radiale

[pocholoco92]

scusate ma una forma differenziale che risulta essere radiale implica solo che è chiusa, o implica anche l'esattezza?

che una radiale sia anche chiusa è facile dimostrarlo ma non ho capito se una radiale è anche esatta
mi potete aiutare??

[dissonance]

Si che è esatta, a patto che non sia troppo brutta. "Radiale" è una forma differenziale di tipo \(\omega=f(r)dr\), dove \(r\) è la coordinata radiale del sistema di coordinate polari. Se \(f\) è continua e quindi ha primitive, presa una primitiva \(F\) risulta che \(F(r)\) è una primitiva di \(\omega\).

[pocholoco92]

aspetta, cosa intendi per "brutta"??

[dissonance]

"Brutta" nel senso che non ammette primitive.

[pocholoco92]

scusami non capisco
se è esatta ammette primitive

quindi che vuol dire
"è esatta a meno che non sia brutta, coiè non ammette primitive"?

[dissonance]

Mannaggia a me che ho scritto quella frase con "troppo brutta". Volevo dire: se $f$ ammette primitive allora anche $omega=f(r)dr$ ammette primitive. Ma siccome $f$ è una funzione reale di una variabile reale, del tipo studiato in Analisi 1, affinché essa ammetta primitive è sufficiente che sia continua.

Quindi $omega$ è sicuramente esatta se $f$ è continua e come sai questa è una richiesta molto più debole rispetto al caso generale delle forme differenziali non radiali.

[Raptorista1]

Una domanda per dissonance, perché leggendo quello che hai scritto mi viene un dubbio: quando dici "ammette primitiva" intendi "ammette primitiva esprimibile elementarmente" o "è integrabile" [nel senso che esiste l'integrale definito]?

[dissonance]

No, no che c'entra. Che sia esprimibile elementarmente o no non ce ne frega niente, basta che esista. NON è detto che una funzione reale di variabile reale ammetta primitive, se non è continua. Ne parlammo moltissimo tempo fa con Leonardo89.

[pocholoco92]

grazie mille adesso mi è chiaro, quindi radiale non implica che sia esatta, perche devo sempre controllare che la nuova funzione di una sola variabile sia continua

[taixifanth]

Quindi ω è sicuramente esatta se f è continua e come sai questa è una richiesta molto più debole rispetto al caso generale delle forme differenziali non radiali.