Forma differenziale non chiusa
l'esercizio mi dice di verificare se la forma e chiusa ed esatta e di calcolare una primitiva...
$w(x,y)=(3sqrt(xy^3)+1/sqrt(x))dx+(3sqrt(x^3y))dy$
$F_1=(3sqrt(xy^3)+1/sqrt(x))dx$
$F_2=(3sqrt(x^3y))dy$
faccendo le derivate non mi escono uguali
derivata rispetto a y di $F_1=(9y^2x)/(2sqrt(xy^3)$
derivata rispetto a x di $F_2=(9x^2y)/(2sqrt(yx^3)$
come procedo?
$w(x,y)=(3sqrt(xy^3)+1/sqrt(x))dx+(3sqrt(x^3y))dy$
$F_1=(3sqrt(xy^3)+1/sqrt(x))dx$
$F_2=(3sqrt(x^3y))dy$
faccendo le derivate non mi escono uguali
derivata rispetto a y di $F_1=(9y^2x)/(2sqrt(xy^3)$
derivata rispetto a x di $F_2=(9x^2y)/(2sqrt(yx^3)$
come procedo?
Risposte
Procedi rifacendo i conti come si deve. Sono sbagliati.
ho controllato anche su wolframe .-.
Senti, quella forma differenziale è chiusa. Te lo dico io, ma lo puoi vedere anche tu perché ha questa forma qui:
\[
\omega= \underbrace{a(x, y)\,dx + a(y, x)\,dy}_{=\eta_1} + \underbrace{\frac{1}{\sqrt{x}}\, dx}_{=\eta_2},\]
dove
\[
a(x, y)=3\sqrt{xy^3}.\]
Ora la forma $\eta_2$ è chiaramente chiusa\(^{1}\). E anche la forma $\eta_1$ è chiusa, perché le sue componenti si ottengono una dall'altra scambiando le variabili. Quindi ovviamente le derivate in croce sono uguali. E concludendo, è ovvio che la somma di forme chiuse è una forma chiusa.
Insomma, se non ti ritrovi l'unica possibilità è che tu abbia sbagliato i calcoli.
\(^{[1]}\) E' anche immediato vedere che $\eta_2$ è esatta sul suo dominio, che è $\{(x, y)\in \mathbb{R}^2\ :\ x\ne 0\}$. La famiglia delle primitive è \[
F(x;C_1, C_2)=\begin{cases}
x^{\frac{1}{2}} +C_1, & x>0 \\
(-x)^{\frac{1}{2}} + C_2, & x<0
\end{cases}
\]
\[
\omega= \underbrace{a(x, y)\,dx + a(y, x)\,dy}_{=\eta_1} + \underbrace{\frac{1}{\sqrt{x}}\, dx}_{=\eta_2},\]
dove
\[
a(x, y)=3\sqrt{xy^3}.\]
Ora la forma $\eta_2$ è chiaramente chiusa\(^{1}\). E anche la forma $\eta_1$ è chiusa, perché le sue componenti si ottengono una dall'altra scambiando le variabili. Quindi ovviamente le derivate in croce sono uguali. E concludendo, è ovvio che la somma di forme chiuse è una forma chiusa.
Insomma, se non ti ritrovi l'unica possibilità è che tu abbia sbagliato i calcoli.
\(^{[1]}\) E' anche immediato vedere che $\eta_2$ è esatta sul suo dominio, che è $\{(x, y)\in \mathbb{R}^2\ :\ x\ne 0\}$. La famiglia delle primitive è \[
F(x;C_1, C_2)=\begin{cases}
x^{\frac{1}{2}} +C_1, & x>0 \\
(-x)^{\frac{1}{2}} + C_2, & x<0
\end{cases}
\]
io non sto dicendo che non è chiusa come dice lei, ho detto solo che facendo le derivate (controllato anche su wolframe) non mi escono uguale , io non so farlo con il suo procedimento dunque il mio problema rimane sarà che sbaglio a fare le derivate....
Ma si dai. E dammi del tu. Sicuramente sbagli a calcolare le derivate:
\[
\partial_y\left( x^{\frac{1}{2}}y^\frac{3}{2} + x^{-\frac{1}{2}}\right)=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}, \]
e
\[
\partial_x \left(x^{\frac{3}{2}}y^{\frac{1}{2}} \right)= \frac{3}{2}x^{\frac12}y^\frac12.\]
\[
\partial_y\left( x^{\frac{1}{2}}y^\frac{3}{2} + x^{-\frac{1}{2}}\right)=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}, \]
e
\[
\partial_x \left(x^{\frac{3}{2}}y^{\frac{1}{2}} \right)= \frac{3}{2}x^{\frac12}y^\frac12.\]
certo che scritte in questo modo .-. si sono uguali dunque avevo fatto bene le derivate e che si dovevano scrivere in una maniera divesa ... grazie mille
Prego. Quando ci sono potenze e radici, sempre meglio usare questa notazione, per calcolare le derivate.
Seìi stato utilissimo ho imparato una cosa nuova.
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