Forma differenziale non C1 chiusa in un semplicemente connesso

[jJjjJ1]

Salve,

mi domando una cosa: sappiamo che una forma differenziale chiusa di classe $C^1$ in un aperto semplicemente connesso di $R^2$ è esatta, è possibile trovare una forma differenziale chiusa in un insieme semplicemente connesso di $R^2$ che non è esatta oppure il teorema si può generalizzare a forme chiuse di classe $C^0$?

[dissonance]

Se una forma differenziale non è $C^1$ le derivate potrebbero non esistere e quindi potrebbe non avere proprio senso parlare di "forma chiusa".

[jJjjJ1]

Si quello lo so. In alcuni testi infatti per forma chiusa ho trovato nella definizione la richiesta che sia C1. Questo non cambia il senso della mia domanda che per chiarezza ripropongo cosi: è possibile trovarr una forma differenziale $a(x,y)dx + b(x,y)dy$ definita in un aperto semplicemente connesso, tale che esistano le derivate parziali di $a$ rispetto a $y$ e di $b$ rispetto ad $x$ e tali che queste coincidano ma la forma non è esatta?

[jJjjJ1]

Ah si mi son risposto da solo. Basta prenderw le derivate parziali di una funzione nkn C1 e la forma differenziale associata

[Emar1]

In alcuni testi, infatti, la chiusura viene definita come locale esattezza. In questo caso non serve che la forma sia $C^1$ ma solo $C^0$.

[dissonance]

"jJjjJ":Si quello lo so. In alcuni testi infatti per forma chiusa ho trovato nella definizione la richiesta che sia C1. Questo non cambia il senso della mia domanda che per chiarezza ripropongo cosi: è possibile trovarr una forma differenziale $a(x,y)dx + b(x,y)dy$ definita in un aperto semplicemente connesso, tale che esistano le derivate parziali di $a$ rispetto a $y$ e di $b$ rispetto ad $x$ e tali che queste coincidano ma la forma non è esatta?

Questa domanda è abbastanza sottile. Se una funzione è derivabile, ma non è $C^1$, la sua derivata potrebbe essere una vera porcheria (maggiori informazioni qui: https://en.wikipedia.org/wiki/Pompeiu_derivative). Diventa molto difficile costruire una teoria se uno deve fare i conti con schifezze del genere. Perciò è meglio mettersi subito in ipotesi $C^1$, che non sono certo troppo restrittive.