Forma differenziale lungo la curva

[stella909921]

Salve a tutti devo risolvere questa forma differenziale ... Nell'esercizio è richiesto " Dire se la forma differenziale
$ omega = 1 / (x+y) dx - x/ [(x+y) (y)] dy $ è esatta e calcolare l'integrale lungo la curva $ Gamma $ dove
$ Omega = { (x,y) in R^2 : x > 0 , y > 0 } $
$ Gamma : { ( x= t ),( y = t^2 + 1):} t in [0,1] $

ho gia verificato che la forma differenziale sia esatta ma non so come calcolare l integrale lungo la curva

[stella909921]

Non ho capito... Questo esercizio va risolto sostituendo alla forma differenziale i parametri della curva alla x e alla y oppure trovando il potenziale?

[stella909921]

trovo la primitiva per $ omega $
integrando la funzione più semplice in questo caso quella in dx
quindi:

$ int 1 / (x+y) dx = log(x+y) $ + c(y)

adesso devo derivare il risultato dell integrale rispetto a y

$ (partial^. f1)/(partial y) = 1/(x+y) $

adesso devo uguagliare questa derivata alla funzione che non ho integrato


$ c'(y) = 1/(x+y) = -x / [(x+y) (y) $ posso scriverla come $ 1/(x+y) = 1/(x+y) * -x/y $
$ c'(y) = -x/y $

devo trovare c(y) e quindi farò l integrale
$ -x int 1/y dy $ = $ -x log y $

quindi F = log(x+y) - xlog y


spero che non ci siano errori almeno fino a questo punto

[stella909921]

sinceramente sto leggendo la formula che mi avevi scritto sopra però non so cosa fare dopo essermi trovata la primitiva

[stella909921]

si esatto

[stella909921]

non capisco il calcolo di n(1,2)

[stella909921]

dovrebbe venire log(3/2) - log (1)

[stella909921]

ho capito... ti ringrazio !!!!!