Forma differenziale lineare su ${(x,y)inRR^2|y!=0}$ e simili

[lordb]

Ciao ragazzi, mi chiedevo se si potesse dimostrare l'esattezza (senza calcolare la primitiva) di una forma differenziale generica su di un dominio del tipo $RR^2$ privato di una retta, oppure $RR^3$ privato di un piano.
Infatti qui non si tratta di buchi che possono essere circondati da una curva generica, quindi non saprei come fare..

Grazie in anticipo

[j18eos]

Forse scriverò una sciocchezza: utilizza il lemma di Poincaré sulla diverse parti di \(\mathbb{R}^2\) od \(\mathbb{R}^3\), se la forma è chiusa ottieni l'esattezza!

[lordb]

Quindi dici che se è chiusa, (ovvero localmente esatta), e le due parti "tagliate" dalla retta sono degli stellati allora la forma differenziale è esatta?

[j18eos]

Sostanzialmente sì, in quanto sulle componenti connesse (quelle che ho chiamato parti) resta definita una primitiva locale, alla fine ti trovi una primitiva globale incollando le altre.

Il ragionamento mi fila, ma non vorrei che mi fosse sfuggito qualcosa!

[lordb]

Ok grazie, vediamo se qualcuno ha da aggiungere qualcosa.

[Rigel1]

Il ragionamento di Armando è corretto: basta lavorare su ciascuna componente connessa.

[robe921]

In quel caso avrai due componenti $\Omega_1$ e $\Omega_2$ che sono semplicemente connesse, quindi la forma, una volta dimostrato che è chiusa, è localmente esatta in $\Omega_1$ e $\Omega_2$

[lordb]

Ok perfetto grazie a tutti!