Forma differenziale lineare e differenziale di una funzione

[Antimius]

Si definisce forma differenziale lineare un'applicazione [tex]$\omega: A \subseteq \mathbb{R}^n \to (\mathbb{R}^n)^*$[/tex] che associa a ogni elemento [tex]$x$[/tex] di [tex]$A$[/tex] il funzionale lineare [tex]$\omega (x)=\sum_{i=1}^n a_i(x) dx_i$[/tex], dove [tex]$(\mathbb{R}^n)^*$[/tex] è lo spazio duale di [tex]$\mathbb{R}^n$[/tex].

Il differenziale di una funzione [tex]$f: A \to \mathbb{R}$[/tex] nel punto [tex]$x \in A$[/tex] è l'applicazione lineare definita da [tex]$h\mapsto \sum_{i=1}^n \frac{\partial f(x)}{\partial x_i} h_i$[/tex].

Ora, magari la domanda è banale, però voglio essere sicuro di non confondermi: quando si richiede che la forma differenziale sia uguale al differenziale di una funzione, in realtà si sta chiedendo che il differenziale in ogni punto sia uguale al funzionale lineare che la forma differenziale lineare associa in quel punto o sbaglio?
O per dirla in un'altra maniera, la funzione [tex]$\omega$[/tex] viene identificata con il funzionale lineare [tex]$\omega (x)$[/tex] che essa associa al punto [tex]$x$[/tex]. E quindi, per comodità si scrive [tex]$\omega=df$[/tex]?
O viceversa il differenziale di una funzione può essere inteso sia come il funzionale lineare su descritto che come una forma differenziale lineare che associa a ogni punto tale funzionale?

Grazie in anticipo per i chiarimenti

[yellow2]

Direi la seconda, anche il differenziale puoi pensarlo come applicazione da A allo spazio duale. Poi quando lo calcoli in un punto diventa l'applicazione lineare che hai detto te.

[Antimius]

Ok thx