Forma differenziale lineare
$\omega=a(x,y)dx+b(x,y)dy=(sqrt(y)-2xy)dx+(x/(2sqrt(y))-x^2)dy$. Dire se è esatta e calcolarne le primitive.
Ovviamente, $\omegainC^1(A)$, dove $A={(x,y)inRR^2|y>0}$. La forma è chiusa. Il semipiano $A$ è un aperto semplicemente connesso.
Allora, la forma è esatta.
Ora calcolo la primitiva: ho calcolato una primitiva di $a(x,y)$ rispetto a $x$ e mi viene $x*sqrt(y)-x^2y$.
Quindi, ho posto $f(x,y)=x*sqrt(y)-x^2y+g(y)$. Per trovare $g(y)$, ho derivato f rispetto alla $y$ e l'ho eguagliata a $b(x,y)$. Mi viene $g'(y)=0$, perciò $g(y)=c$.
Dunque, le primitive sono $f(x,y)=x*sqrt(y)-x^2y+c$.
Vi sembra giusto come ragionamento? I risultati del libro non so perché non mettono la costante alla fine, però. Comunque, in generale, anche se $g(y)$ non fosse stato costante, per esprimere le primitive, avrei dovuto aggiungere ugualmente una costante $c$, come si fa nel caso delle primitive delle funzioni a una variabile, no? E quindi, determinata la $g$, sarebbe venuto $f(x,y)=x*sqrt(y)-x^2y+g(y)+c$.
Ovviamente, $\omegainC^1(A)$, dove $A={(x,y)inRR^2|y>0}$. La forma è chiusa. Il semipiano $A$ è un aperto semplicemente connesso.
Allora, la forma è esatta.
Ora calcolo la primitiva: ho calcolato una primitiva di $a(x,y)$ rispetto a $x$ e mi viene $x*sqrt(y)-x^2y$.
Quindi, ho posto $f(x,y)=x*sqrt(y)-x^2y+g(y)$. Per trovare $g(y)$, ho derivato f rispetto alla $y$ e l'ho eguagliata a $b(x,y)$. Mi viene $g'(y)=0$, perciò $g(y)=c$.
Dunque, le primitive sono $f(x,y)=x*sqrt(y)-x^2y+c$.
Vi sembra giusto come ragionamento? I risultati del libro non so perché non mettono la costante alla fine, però. Comunque, in generale, anche se $g(y)$ non fosse stato costante, per esprimere le primitive, avrei dovuto aggiungere ugualmente una costante $c$, come si fa nel caso delle primitive delle funzioni a una variabile, no? E quindi, determinata la $g$, sarebbe venuto $f(x,y)=x*sqrt(y)-x^2y+g(y)+c$.
Risposte
Probabilmente non somma la costante perché assume che, in ogni caso, le primitive differiscano solo per una costante. Il procedimento è corretto.
Ok, ti ringrazio! 
Aggiungo una domanda sempre sul calcolo della primitiva di una forma differenziale lineare.
$\omega=y^2/(x^2+y^4)dx-(2xy)/(x^2+y^4)dy$.
I coefficienti ovviamente sono di classe $C^1(RR^2-{(0,0)})$. Ho mostrato che la forma è chiusa e, visto che l'insieme di definizione è dato da un semplicemente connesso meno un punto, ho esibito una curva $\gamma$ regolare a tratti, semplice e chiusa che giri attorno al punto tale che $int_(\gamma)^()\omega=0$. Con questo ho dimostrato l'esattezza della forma, nonostante l'insieme di definizione della forma non sia semplicemente connesso.
Stavolta mi chiedeva di calcolare una primitiva e non le primitive (capirai, per una costante
).
Ho seguito il ragionamento di prima e mi viene $f(x,y)=arctg(x/y^2)$ per $y!=0$ e una costante per $y=0$.
Ho visto i risultati del libro però e non mi è chiaro perché scelga proprio certe costanti:
$f(x,y)={(arctg(x/y^2),if y!=0),(\pi/2,if y=0&x>0),(-\pi/2,if y=0&x<0):}$.
Capisco che in fondo chiede di esibire una primitiva, quindi posso scegliere quali costanti voglio ma non vorrei essermi perso qualcosa Anche perché ho notato che ha scelto come costanti proprio gli estremi dell'immagine $(-\pi/2,\pi/2)$ dell'arcotangente. Semplice gusto?
$\omega=y^2/(x^2+y^4)dx-(2xy)/(x^2+y^4)dy$.
I coefficienti ovviamente sono di classe $C^1(RR^2-{(0,0)})$. Ho mostrato che la forma è chiusa e, visto che l'insieme di definizione è dato da un semplicemente connesso meno un punto, ho esibito una curva $\gamma$ regolare a tratti, semplice e chiusa che giri attorno al punto tale che $int_(\gamma)^()\omega=0$. Con questo ho dimostrato l'esattezza della forma, nonostante l'insieme di definizione della forma non sia semplicemente connesso.
Stavolta mi chiedeva di calcolare una primitiva e non le primitive (capirai, per una costante
).Ho seguito il ragionamento di prima e mi viene $f(x,y)=arctg(x/y^2)$ per $y!=0$ e una costante per $y=0$.
Ho visto i risultati del libro però e non mi è chiaro perché scelga proprio certe costanti:
$f(x,y)={(arctg(x/y^2),if y!=0),(\pi/2,if y=0&x>0),(-\pi/2,if y=0&x<0):}$.
Capisco che in fondo chiede di esibire una primitiva, quindi posso scegliere quali costanti voglio ma non vorrei essermi perso qualcosa
Anche perché ho notato che ha scelto come costanti proprio gli estremi dell'immagine $(-\pi/2,\pi/2)$ dell'arcotangente. Semplice gusto?
No, non è semplice gusto: tu devi escludere $(0,0)$, ma la primitiva deve essere una funzione derivabile (altrimenti come fai a trovare le derivate prime che, nel tuo caso sono le componenti della forma?) A questo punto devi imporre condizioni di continuità per la funzione primitiva: e cioè che, dette [tex]c_1,\ c_2[/tex] tali costanti (definite per $x<0, y=0$ e $x>0, y=0$), allora [tex]$c_1=\lim_{y\to 0}f(x,y),\ x<0$[/tex] e [tex]$c_2=\lim_{y\to 0}f(x,y), x>0$[/tex].
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