Forma differenziale lineare
Buon pomeriggio a tutti....
volevo porvi un quesito....mettiamo che io ho una forma differenziale il cui dominio non è tutto $R^2$, ad esempio $R^2-(0,0)$.
Per verificare se questa forma differenziale è esatta (cioè se ammette una primitiva) posso calcolare l'integrale curvilineo sulla circonferenza che sta intorno all'origine e vedere che questo fa $0$.
Ci sono altri metodi per arrivare a vedere se è esatta??
Grazie mille
volevo porvi un quesito....mettiamo che io ho una forma differenziale il cui dominio non è tutto $R^2$, ad esempio $R^2-(0,0)$.
Per verificare se questa forma differenziale è esatta (cioè se ammette una primitiva) posso calcolare l'integrale curvilineo sulla circonferenza che sta intorno all'origine e vedere che questo fa $0$.
Ci sono altri metodi per arrivare a vedere se è esatta??
Grazie mille
Risposte
" una forma differenziale lineare chiusa su un semplicemente connesso è esatta".
Diviene condizione sufficente non solo necessaria come di solito
Diviene condizione sufficente non solo necessaria come di solito
$R^2\setminus \{(0,0)\}$ non è semplicemente connesso...
Si ha ragione Rigel lo è $ R^3 -(0,0) $ comunque il resto è giusto
allora per vedere se è esatta basta che faccio l'integrale curvilineo della forma differenziale su una circonferenza che avvolge il punto (0,0), cioè una circonferenza di centro l'origine e raggio 1!!
è cosi?
è cosi?
Assumendo che la forma sia chiusa sì, basta quello.
nel caso del piano meno il punto basta una sola curva attorno
al punto. Se il dominio fosse il piano meno due punti occorrerebbe
considerarne tre: una che gira (solo) attorno al primo punto, una (solo)
attorno il secondo, e una attorno a tutti e due. Se questi integrali
sono zero l'integrale su ogni altra curva chiusa e' anch'esso zero per
invarianza omotopica e la forma e' integrabile.
al punto. Se il dominio fosse il piano meno due punti occorrerebbe
considerarne tre: una che gira (solo) attorno al primo punto, una (solo)
attorno il secondo, e una attorno a tutti e due. Se questi integrali
sono zero l'integrale su ogni altra curva chiusa e' anch'esso zero per
invarianza omotopica e la forma e' integrabile.
e se ad esempio ho una forma differenziale (che per ipotesi è chiusa) definita in $R^2-(0,y)$ come faccio a vedere se è esatta?
non posso considerare i due pseudo insiemi (a sinistra dell'asse y e a destra dell'asse y) come semplicemente connessi (perchè non hanno "buchi") e quindi dire che è esatta?
è un'ipotesi....magari ho detto una sciocchezza assurda....
non posso considerare i due pseudo insiemi (a sinistra dell'asse y e a destra dell'asse y) come semplicemente connessi (perchè non hanno "buchi") e quindi dire che è esatta?
è un'ipotesi....magari ho detto una sciocchezza assurda....
se sono due o n punti non basta considerare solo la curva che li contiene che può essere trasformata con continuità nell'incollamento di n curve che circondano ogni punto?poi per vedere se una forma è esatta non basta trovare una famiglia di primitive?
verifichi prima che la forma sia chiusa (condizione necessaria) poi cerchi una famiglia di primitive. se devi prima stabilire se la forma è esatta devi calcolare l'integrale curvilineo su una curva chiusa che circonda il punto critico
aggiungo (usa il tasto cerca sul forum)
esempio l'integrale di ω lungo UNA curva chiusa che circonda l'origine :si prova che ω è esatta in $R^2-(0,0)$ mostrando che è nullo l'integrale curvilineo di ω esteso ad ogni curva chiusa φ .
Si considera una curva generica φ che circonda l'origine e collega φ e φ0 con un segmento ottenendo un insieme completamente contenuto in $R^2-(0,0)$;
poi dato che i due integrali estesi al segmento si elidono, si ha:
$∫φω-∫φ0ω=0 $quindi $∫φω=∫φ0ω=0$
e il risultato vale anche se φ non circonda l'origine..
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esempio l'integrale di ω lungo UNA curva chiusa che circonda l'origine :si prova che ω è esatta in $R^2-(0,0)$ mostrando che è nullo l'integrale curvilineo di ω esteso ad ogni curva chiusa φ .
Si considera una curva generica φ che circonda l'origine e collega φ e φ0 con un segmento ottenendo un insieme completamente contenuto in $R^2-(0,0)$;
poi dato che i due integrali estesi al segmento si elidono, si ha:
$∫φω-∫φ0ω=0 $quindi $∫φω=∫φ0ω=0$
e il risultato vale anche se φ non circonda l'origine..
ma si deve prima stabilire se è esatta o meno....cmq se ho una FD definita in $R^2-(0,y)$ va bene come ho detto prima per vedere se è esatta?? cioè posso considerare i due pseudo insiemi (a sinistra dell'asse y e a destra dell'asse y) come semplicemente connessi (perchè non hanno "buchi") e quindi dire che è esatta?
mi sembra una cosa fattibile
mi sembra una cosa fattibile
nel caso che ci sia un solo punto in cui la FD non è definita allora va bene il calcolo dell'integrale curvilineo ma se ho una FD definita in $R^2-(0,y)$ cioè tutto $R^2$ tranne i punti dell'asse y posso procedere come detto prima da me nel precedente post?
credo proprio di si dici che il dominio è unione di due insiemi semplicemente connessi e quindi la forma è localmente esatta in ogni sottoinsieme..
se poi devi calcolare un integrale curvilineo della forma su un tratto di curva
puoi applicare il teorema fondamentale del calcolo integrale solo se gli estremi appartengono entrambi ad uno dei due sottoinsiemi
se poi devi calcolare un integrale curvilineo della forma su un tratto di curva
puoi applicare il teorema fondamentale del calcolo integrale solo se gli estremi appartengono entrambi ad uno dei due sottoinsiemi
"anticristo":No. Non è "localmente esatta", è proprio esatta in ogni sottoinsieme. "Localmente esatta" ed "esatta" sono due cose diverse. Tutte le forme chiuse sono localmente esatte.
credo proprio di si dici che il dominio è unione di due insiemi semplicemente connessi e quindi la forma è localmente esatta in ogni sottoinsieme..
Riguardo la domanda del topic, per approfondimenti passo un link con un po' di teoria spicciola:
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#427320
forse può essere utile.
grazie per avermi chiarito questo fatto dissonance
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