Forma differenziale lineare

[dlbp]

Salve a tutti...
ho questa forma differenziale

$omega=(x/(x^2+y^2)-1/x)dx+y/(x^2+y^2)dy

Vorrei sapere se il dominio è $R^2-{(0,0)}

e se per vedere che è esatta mi basta calcolare l'integrale curvilineo lungo una circonferenza di centro $(0,0)$ e vedere se questo fa $0$?

Grazie mille

[dissonance]

No, devi togliere dal dominio anche tutto l'insieme ${(x, y)\ :\ x=0}$ (l'asse delle $y$).

[dlbp]

e quindi come faccio a vedere che è una forma esatta?

[j18eos]

Condizione necessaria ma NON sufficiente è il verificare che tale forma sia chiusa nel dominio da te descritto!

[dlbp]

e dopo aver verificato che è chiusa ( e lo è) come faccio a vedere se è esatta?

io avevo pensato di fare un integrale curvilineo su una circonferenza di centro (0,0)

ma se dal dominio ho dovuto togliere anche l'asse y non dovrei procedere diversamente?

[dissonance]

Ma visualizzati bene il dominio. Vedi che è composto da due "pezzi" staccati (=due componenti connesse)? Ognuno dei due ha una importante proprietà topologica, che rende le forme differenziali chiuse anche esatte. Quale? Grazie a questa proprietà topologica, e al fatto che la forma è chiusa, puoi affermare che la restrizione di $omega$ a ciascuno dei due pezzi di dominio è esatta.

Ora io direi che la forma è anche esatta nel suo insieme. Perché? Prendi una curva chiusa $gamma$ contenuta nel dominio di $omega$. Allora necessariamente $gamma$ è contenuta in uno dei due pezzi di dominio, chiamiamolo $A_1$. Ma allora l'integrale $int_{gamma}omega=int_{gamma}omega|_{A_1}$, e quanto fa quest'ultimo integrale?

[dlbp]

questi due pezzi staccati sono insiemi stellati??
che quindi implicano l'esattezza?

secondo me sì...

[stefano_89]

se per stellati intendi semplicemente connessi, allora ok.. di fatto questi insiemi traducono l' idea, detta in parole povere, di insieme "senza buchi". Quindi se prendi i 2 semipiani in maniera distinta, vedi che soddisfano questa proprietà..

[j18eos]

"stefano_89":se per stellati intendi semplicemente connessi...

Un insieme stellato è un particolare insieme semplicemente connesso.

Un insieme $S$ si dice stellato rispetto ad un suo sottoinsieme non vuoto $T$ quando contiene ogni segmento con un estremo in $T$ e con un estremo in $S$; se fosse $T=S$ esso sarebbe, inoltre, convesso.

"stefano_89":...semplicemente connessi... .. di fatto questi insiemi traducono l' idea, detta in parole povere, di insieme "senza buchi".

Attenzione ai buchi! Un esempio di insieme semplicemente connesso non stellato è data dalla corona sferica in $\mathbb{R}^n$ con $n\geq3$; una coppia di sfere concentriche di cui si considera la differenza insiemistica di quella con raggio maggiore con quella di raggio minore, in tale esempio c'è un buco secondo il senso comune ma non nel senso topologico.

Un esempio di insieme stellato, e quindi semplicemente connesso, ma non concavo è dato da 2 cerchi (con tanto di circonferenze) tangenti o secanti esternamente; tale insieme è stellato rispetto all'intersezione di tali cerchi.