Forma differenziale - integrale
$ w(x,y) = 2xy^3dx + 3x^2y^2dy $ sull'ellisse $ x^2/2+y^2/3=1 $ orientato in senso antiorario.
Parametrizzo: $ ( x = sqrt(2) cost $ con $ dx = -sqrt(2)sint ),( y=sqrt(3)sint $ con $ dy = sqrt(3)cost )
Ho sostituito e semplificato e mi viene: $ int_(0)^(2pi) 6sqrt(3) sin^2(t)cos(t)(3cos^2(t)-2sin^2(t)) $
Ora come faccio ad integrare, forse ho sbagliato qualcosa?
Grazie.
Parametrizzo: $ ( x = sqrt(2) cost $ con $ dx = -sqrt(2)sint ),( y=sqrt(3)sint $ con $ dy = sqrt(3)cost )
Ho sostituito e semplificato e mi viene: $ int_(0)^(2pi) 6sqrt(3) sin^2(t)cos(t)(3cos^2(t)-2sin^2(t)) $
Ora come faccio ad integrare, forse ho sbagliato qualcosa?
Grazie.
Risposte
Magari ti sei dimenticato i $dt$ nelle formule con i $dx$?
In realtà, basta verificare che la forma risulti chiusa sul dominio di integrazione e da questo dedurre che l'integrale è pari a zero.
Grazie ciampax, non mi sono accorto che le derivate parziale sono uguali
Le derivate parziali incrociate sono uguali.
Scusate, un'altra domandina veloce:
$ x/(x^2+y^2) dx + y/(x^2+y^2) dy$ sulla semicirconferenza di raggio $ 3 $ contenuta in $ x>=0 $
E' esatta?
Le derivate parziali sono uguali e ci siamo, pero' il dominio e' R^2/(0,0), e vedo che (0,0) e' interno alla curva di integrazione, quindi non e' esatta o mi sbaglio?
$ x/(x^2+y^2) dx + y/(x^2+y^2) dy$ sulla semicirconferenza di raggio $ 3 $ contenuta in $ x>=0 $
E' esatta?
Le derivate parziali sono uguali e ci siamo, pero' il dominio e' R^2/(0,0), e vedo che (0,0) e' interno alla curva di integrazione, quindi non e' esatta o mi sbaglio?
Non ti sbagli.
Grazie mille ciampax
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