Forma differenziale in un insieme non connesso
Ho la forma differenziale y*sin^2(x)cosx dx + [sin^3(x)/3 + 1/(y^(2/3)*(1 + y^(2/3)))]dy e devo verificarne l'esattezza dalla chiusura. L'insieme di definizione è y diverso da zero, quindi non è un aperto semplicemente connesso e quindi il teorema non è applicabile ?
Risposte
Il dominio di
\[
\omega = y \sin^2 x \cos x dx + \frac{1}{3}\sin^3 x dy + \frac{1}{y^{2/3}(1 + y^{2/3})} dy
\]
è ha componenti contraibili, ogni sua componente connessa quindi è semplicemente connessa. Una primitiva di $\omega$ si trova integrando su archi opportuni, che a causa del fatto che \(\textsf{dom}(\omega)\) è sconnesso non potranno mai uscire da una componente contraibile. In particolare allora una primitiva di $\omega$ è
\[
\frac{y}{3} \sin^3 x + + \int \frac{1}{y^{2/3}(1 + y^{2/3})} dy
\]
\[
\omega = y \sin^2 x \cos x dx + \frac{1}{3}\sin^3 x dy + \frac{1}{y^{2/3}(1 + y^{2/3})} dy
\]
è ha componenti contraibili, ogni sua componente connessa quindi è semplicemente connessa. Una primitiva di $\omega$ si trova integrando su archi opportuni, che a causa del fatto che \(\textsf{dom}(\omega)\) è sconnesso non potranno mai uscire da una componente contraibile. In particolare allora una primitiva di $\omega$ è
\[
\frac{y}{3} \sin^3 x + + \int \frac{1}{y^{2/3}(1 + y^{2/3})} dy
\]
Cosa significa componenti contraibili? Stai dicendo che quindi il teorema che dalla chiusura ricava l'esattezza per i semplicemente connessi, in questo caso si applica localmente e non globalmente?
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