Forma differenziale esatta in $ \mathbb{R}^{3} $

[Lorenzo Morandi]

Ciao, credo di aver sbagliato i conti ma non riesco proprio a uscire da questo dilemma.
data la forma differenziale definita su $ \{ (x,y,z)\in\mathbb(R)^{3}:y^2+z^2\ne 0 \} $ come:
$\omega(x,y,z)=(yz)dx+(y+xz+\frac{y-z}{y^{2}+z^{2}})dy+(xy+\frac{y+z}{y^{2}+z^{2}})dz $
Tale forma differenziale mi risulta essere esatta, ed il suo "potenziale" (a meno di una costante additiva) sarebbe:
$ F(x,y,z)=\frac{y^2}{2}+xyz+\frac{1}{2}\log(y^2+z^2)+\arctan(\frac{z}{y}) $

Ora, perché quando vado a calcolare $ \int_{\gamma}\omega $ con $ \gamma(t)=(0,\cos(t),\sin(t)) $, $ t\in [0,2\pi] $ il valore dell'integrale mi esce non nullo?

$ \int_{0}^{2\pi}((\sin(t)\cos(t))\cdot 0+(\cos(t)+(\cos(t)-\sin(t)))\cdot(-\sin(t))+(\cos(t)+\sin(t))\cdot(cos(t)))dt = \\
\int_{0}^{2\pi}(1-\sin(t)cos(t))dt = 2\pi $

Non trovo l'errore, potete aiutarmi? Grazie!!

[spugna2]

Il problema è che nel potenziale che hai scritto compare $arctan(z/y)$, che non può essere definita con continuità su tutto il dominio (prova a vedere che valori dovrebbe assumere sulla curva lungo la quale hai calcolato l'integrale).

[singularity]

Occhio al dominio di definizione della forma differenziale! Ricorda che oltre alla chiusura della f.d. c'è un'altra condizione sul dominio affinché sia esatta su di esso.