Forma differenziale esatta e potenziale
ciao a tutti mi servirebbe sapere se il procedimento da me seguito in questo esercizio è corretto. il testo recita:
"Determinare la funzione $g in C^1(RR^2)$ che soddisfa $g(1, 1) = 2$ e che rende esatta la forma differenziale
$ omega=(2xz)dx+(yz+3y^2)dy+g(x,y)dz $. Per questa scelta di g determinare il potenziale F(x,y,z) di $omega$ che soddisfa F(1,1,4)=0"
Data la semplice connessione di $RR^2$ una forma è esatta se e solo se è chiusa, allora procedo a verificare la chiusura.
$ { ( 0=0 -> ok ),( 2x=(partial g(x,y))/(partialx) ),( y=(partialg(x,y))/(partialy) ):} $
per cui devo avere che $ {( 2x=(partial g(x,y))/(partialx) ),( y=(partialg(x,y))/(partialy) ),( g(1,1)=2):} hArr {( g(x,y)=x^2+c ),( g(x,y)=y^2/2+c ),( g(1,1)=2):} rArr g(x,y)=x^2+y^2/2+c $
imponendo la terza condizione trovo il valore della c e quindi la forma della funzione è: $ g(x,y)=x^2+y^2/2+1/2 $
Procedo ora al calcolo del potenziale imponendo che le sue derivate siano uguali ai coefficienti della forma, integrando di volta in volta rispetto alla variabile interessata. ciò che trovo è: $ F(x,y,z)=x^2z+y^2/2z+y^3+1/2z+h $ con $h in RR$. Ora impongo F(1,1,4)=0 e trovo che h vale -9.
È corretto ciò che ho fatto? grazie a tutti in anticipo!
"Determinare la funzione $g in C^1(RR^2)$ che soddisfa $g(1, 1) = 2$ e che rende esatta la forma differenziale
$ omega=(2xz)dx+(yz+3y^2)dy+g(x,y)dz $. Per questa scelta di g determinare il potenziale F(x,y,z) di $omega$ che soddisfa F(1,1,4)=0"
Data la semplice connessione di $RR^2$ una forma è esatta se e solo se è chiusa, allora procedo a verificare la chiusura.
$ { ( 0=0 -> ok ),( 2x=(partial g(x,y))/(partialx) ),( y=(partialg(x,y))/(partialy) ):} $
per cui devo avere che $ {( 2x=(partial g(x,y))/(partialx) ),( y=(partialg(x,y))/(partialy) ),( g(1,1)=2):} hArr {( g(x,y)=x^2+c ),( g(x,y)=y^2/2+c ),( g(1,1)=2):} rArr g(x,y)=x^2+y^2/2+c $
imponendo la terza condizione trovo il valore della c e quindi la forma della funzione è: $ g(x,y)=x^2+y^2/2+1/2 $
Procedo ora al calcolo del potenziale imponendo che le sue derivate siano uguali ai coefficienti della forma, integrando di volta in volta rispetto alla variabile interessata. ciò che trovo è: $ F(x,y,z)=x^2z+y^2/2z+y^3+1/2z+h $ con $h in RR$. Ora impongo F(1,1,4)=0 e trovo che h vale -9.
È corretto ciò che ho fatto? grazie a tutti in anticipo!
Risposte
Tutto giusto! 
L'unica cosa su cui avrei da ridire è l'uso delle \(c\) nelle \(g\) a sistema: sorvolando che nelle due equazioni non sono la stessa \(c\), in realtà sono delle funzioni e quindi dipendono da una variabile; ancor di più, sono immagini di funzioni.
L'unica cosa su cui avrei da ridire è l'uso delle \(c\) nelle \(g\) a sistema: sorvolando che nelle due equazioni non sono la stessa \(c\), in realtà sono delle funzioni e quindi dipendono da una variabile; ancor di più, sono immagini di funzioni.
innanzitutto grazie per la risposta! 
in secondo luogo: per cui dovrei fare qualcosa di questo tipo?
$ {( g(x,y)=x^2+c(y) ),( (partialg(x,y))/(partialy)=c'(y)=y ),( g(1,1)=2):} hArr{( g(x,y)=x^2+c(y) ),( c(y)=y^2/2+d ),( g(1,1)=2):}rArr g(x,y)=x^2+y^2/2+d $
in secondo luogo: per cui dovrei fare qualcosa di questo tipo?
$ {( g(x,y)=x^2+c(y) ),( (partialg(x,y))/(partialy)=c'(y)=y ),( g(1,1)=2):} hArr{( g(x,y)=x^2+c(y) ),( c(y)=y^2/2+d ),( g(1,1)=2):}rArr g(x,y)=x^2+y^2/2+d $
grazie dell'aiuto!
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