Forma differenziale esatta e chiusa, relazione
salve a tutti, causa della mia prof ho un casino in mente riguardo alle forme differenziali, la mia prof mi ha detto che se una forma differenziale è chiusa implica che è esatta, ma se una forma differenziale non è chiusa non è detto che non sia esatta.
invece nel web leggo che una forma differenziale esatta implica che è chiusa e il viceversa vale solo se il dominio è semplicemente connesso. AIUTO. questa proposizione mi aiuta a risolvere degli esercizi, quindi è fondamentale che sappia come usarla. nel caso la mia prof avesse torto gradirei un controesempio, senza conti, basta solo che mi diate la forma poi ci penso io a trovare la primitiva, in modo tale da tirarglielo in faccia se mi dice che ho torto.
invece nel web leggo che una forma differenziale esatta implica che è chiusa e il viceversa vale solo se il dominio è semplicemente connesso. AIUTO. questa proposizione mi aiuta a risolvere degli esercizi, quindi è fondamentale che sappia come usarla. nel caso la mia prof avesse torto gradirei un controesempio, senza conti, basta solo che mi diate la forma poi ci penso io a trovare la primitiva, in modo tale da tirarglielo in faccia se mi dice che ho torto.
Risposte
Se una forma differenziale è esatta allora è anche chiusa. Per lo meno fintanto che le funzioni in gioco sono differenziabili un numero sufficiente di volte. La dimostrazione si basa sul fatto che nelle derivate seconde delle funzioni \(\displaystyle C^2 \) l'ordine di derivazione è ininfluente. Io sono abituato a forme differenziali con funzioni \(\displaystyle C^{\infty} \) o addirittura \(\displaystyle C^{\omega} \) ma in casi generali le cose potrebbero andare diversamente. Insomma questo aspetto è importante.
In ogni caso se è chiusa allora potrebbe non essere esatta a meno di particolari caratteristiche topologiche del dominio (l'essere chiuso o esatto ha un significato coomologico ben preciso*). Penso esista una dimostrazione non coomologica del risultato che citi, dovrei controllare su qualche manuale.
In definitiva, esatta implica chiusa se la forma differenziale è almeno \(\displaystyle C^{1} \) (la primitiva è \(\displaystyle C^2 \)), mentre chiusa implica esatta se il dominio è semplicemente connesso.
* Se tutte le forme chiuse fossero esatte allora si annullerebbero dei particolari gruppo di coomologia. Questa condizione presuppone che siano forme differenziali \(\displaystyle C^{\infty} \). Ma in un corso di analisi e non di geometria differenziale/topologia algebrica questo aspetto potrebbe essere rilassato.
In ogni caso se è chiusa allora potrebbe non essere esatta a meno di particolari caratteristiche topologiche del dominio (l'essere chiuso o esatto ha un significato coomologico ben preciso*). Penso esista una dimostrazione non coomologica del risultato che citi, dovrei controllare su qualche manuale.
In definitiva, esatta implica chiusa se la forma differenziale è almeno \(\displaystyle C^{1} \) (la primitiva è \(\displaystyle C^2 \)), mentre chiusa implica esatta se il dominio è semplicemente connesso.
* Se tutte le forme chiuse fossero esatte allora si annullerebbero dei particolari gruppo di coomologia. Questa condizione presuppone che siano forme differenziali \(\displaystyle C^{\infty} \). Ma in un corso di analisi e non di geometria differenziale/topologia algebrica questo aspetto potrebbe essere rilassato.
grazie per la delucidazione, ora mi rimane solo di andar a convincere la prof !
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