Forma differenziale esatta (dubbio)
Salve ragazzi ho un dubbio su come capire se una forma differenziale è esatta o no
la definizione di forma esatta che ho io è la seguente:
$\omega \text{esatta}\iff \exists f \in C^1 :\omega=df$
ma non so come determinare la funzione.
Se vi è un modo alternativo per verificare l'esattezza di una forma differenziale potreste dirmelo grazie in anticipo
la definizione di forma esatta che ho io è la seguente:
$\omega \text{esatta}\iff \exists f \in C^1 :\omega=df$
ma non so come determinare la funzione.
Se vi è un modo alternativo per verificare l'esattezza di una forma differenziale potreste dirmelo grazie in anticipo
Risposte
scusate ma nessuno può aiutarmi??
La definizione è quella. In genere per determinare se una forma è esatta, conviene usare il seguente risultato:
Sia [tex]$\omega$[/tex] una forma chiusa (i.e. [tex]$d\omega=0$[/tex]) su un insieme semplicemente connesso [tex]$A$[/tex]. Allora [tex]$\omega$[/tex] è esatta su [tex]$A$[/tex].
In pratica, una volta nota la forma, ad esempio [tex]$\omega=P\ dx+Q\ dy$[/tex] definita su un insieme semplicemente connesso [tex]$A$[/tex] basta verificare la condizione che su tale insieme [tex]$P_y=Q_x$[/tex] (che equivale a dire che la forma è chiusa) per essere certi che è esatta.
Una volta fatto questo, per determinare la primitiva si opera così: puoi scrivere, se [tex]$f(x,y)$[/tex] è tale primitiva
[tex]$f(x,y)=\int P(x,y)\ dx+a(y)=\int Q(x,y)\ dy+b(x)$[/tex]
(basta scegliere una delle due espressioni, non è necessario sceglierle entrambe). Una volta determinata la primitiva, ad esempio con il primo integrale, puoi derivare rispetto ad $y$ per ottenere l'identità
[tex]$f_y(x,y)=Q(x,y)=\int P_y(x,y)\ dx+a'(y)$[/tex]
dalla quale puoi determinare la forma della funzione [tex]$a(y)$[/tex].
Sia [tex]$\omega$[/tex] una forma chiusa (i.e. [tex]$d\omega=0$[/tex]) su un insieme semplicemente connesso [tex]$A$[/tex]. Allora [tex]$\omega$[/tex] è esatta su [tex]$A$[/tex].
In pratica, una volta nota la forma, ad esempio [tex]$\omega=P\ dx+Q\ dy$[/tex] definita su un insieme semplicemente connesso [tex]$A$[/tex] basta verificare la condizione che su tale insieme [tex]$P_y=Q_x$[/tex] (che equivale a dire che la forma è chiusa) per essere certi che è esatta.
Una volta fatto questo, per determinare la primitiva si opera così: puoi scrivere, se [tex]$f(x,y)$[/tex] è tale primitiva
[tex]$f(x,y)=\int P(x,y)\ dx+a(y)=\int Q(x,y)\ dy+b(x)$[/tex]
(basta scegliere una delle due espressioni, non è necessario sceglierle entrambe). Una volta determinata la primitiva, ad esempio con il primo integrale, puoi derivare rispetto ad $y$ per ottenere l'identità
[tex]$f_y(x,y)=Q(x,y)=\int P_y(x,y)\ dx+a'(y)$[/tex]
dalla quale puoi determinare la forma della funzione [tex]$a(y)$[/tex].
grazie ancora =)
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