Forma differenziale esatta
Ciao ragazzi, ho un dubbio:
Esercizio: Verificare se la forma differenziale lineare
$\omega=y[x^2/(x^2+y^2)+ln(sqrt(x^2+y^2))]dx + x[x^2/(x^2+y^2)+ln(sqrt(x^2+y^2))]dy$
è esatta nel suo insieme di definizione e, in caso positivo calcolarne le primitive.
Svolgimento
$\omega \in C^\infty(R^2-{(0,0)})$. Inoltre
$dX/dy=dY/dx$ dunque la forma differenziale è chiusa.
Posso dunque dire che è esatta su $(R^2-{(0,0)})$ ?
Oppure posso dire che è esatta solo dopo aver visto che ammette potenziale?
Oppure DEVO prima provare l'esattezza della forma differenziale sfruttando il teorema di Green e calcolando la circuitazione su una generica curva regolare che racchiuda il buco ${(0,0)}$?
Non c'è bisogno che mi svolgiate alcun calcolo, chiedo solo delle semplici risposte alle 3 domande per capire la "scaletta" che devo seguire! Grazie a chi vorrà rispondermi
Esercizio: Verificare se la forma differenziale lineare
$\omega=y[x^2/(x^2+y^2)+ln(sqrt(x^2+y^2))]dx + x[x^2/(x^2+y^2)+ln(sqrt(x^2+y^2))]dy$
è esatta nel suo insieme di definizione e, in caso positivo calcolarne le primitive.
Svolgimento
$\omega \in C^\infty(R^2-{(0,0)})$. Inoltre
$dX/dy=dY/dx$ dunque la forma differenziale è chiusa.
Posso dunque dire che è esatta su $(R^2-{(0,0)})$ ?
Oppure posso dire che è esatta solo dopo aver visto che ammette potenziale?
Oppure DEVO prima provare l'esattezza della forma differenziale sfruttando il teorema di Green e calcolando la circuitazione su una generica curva regolare che racchiuda il buco ${(0,0)}$?
Non c'è bisogno che mi svolgiate alcun calcolo, chiedo solo delle semplici risposte alle 3 domande per capire la "scaletta" che devo seguire! Grazie a chi vorrà rispondermi
Risposte
up
l'espressione $x^2/x^2$ non è equivalente ad $1$
il dominio della forma differenziale è $mathbbR^2$ privato dell'asse delle $y$,quindi non è connesso ma è l'unione di 2 aperti semplicemente connessi, in ognuno dei quali la forma differenziale,per il noto teorema,è esatta
il dominio della forma differenziale è $mathbbR^2$ privato dell'asse delle $y$,quindi non è connesso ma è l'unione di 2 aperti semplicemente connessi, in ognuno dei quali la forma differenziale,per il noto teorema,è esatta
"quantunquemente":
l'espressione $x^2/x^2$ non è equivalente ad $1$
il dominio della forma differenziale è $mathbbR^2$ privato dell'asse delle $y$,quindi non è connesso ma è l'unione di 2 aperti semplicemente connessi, in ognuno dei quali la forma differenziale,per il noto teorema,è esatta
Scusami, ma non mi ero accorto di aver tralasciato un paio di parentesi!
Ora ho corretto il testo. Il dominio dunque è corretto $R^2\{(0,0)}$.
Dunque, prima di affermare che è esatta, ed andare a calcolarmi un eventuale potenziale, devo utilizzare il teorema di Green per assicurarmi l'esattezza. Giusto?
sì,dovresti dimostrare che l'integrale lungo ogni curva chiusa è nullo
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo