Forma differenziale esatta

[sangi89]

Ciao ragazzi, tra i testi dei passati compiti ho trovato questo esercizio che proprio non so fare Ora ve lo riporto
Si determini una funzione [tex]f[/tex] di classe [tex]C^{1}[/tex] diversa da zero tale che la forma differenziale
[tex]w(x,y)= -2xyf(x)dx+(1+x^{2})f(x)dy[/tex] sia esetta in [tex]R^{2}[/tex] e se ne calcoli una primitiva.

Per verificare che sia esatta devo verificare che l'integrale sul circuito unitario [tex]\alpha (t)=(\cos{\left(t\right)},\sin{\left(t\right)})[/tex] con [tex]t\in \left[0,2\pi\right][/tex] sia nullo.
il problema è che una volta scritto l'integrale, non so risolverlo
Qualcuno saprebbe aiutarmi?

[Quinzio]

Propongo una soluzione e la concludo fino alla fine siccome non sono sicuro...

Condizione necessaria e suffiente affinchè la forma sia esatta è che le derivate miste siano uguali.
Quindi se
$ w(x,y) = f(x,y)dx+g(x,y)dy $
deve essere
$ (d f(x,y))/(dy)=(d g(x,y))/(dx) $

Nel nostro caso

$(d f(x,y))/(dy) = -2x\ f(x)$
e
$(d g(x,y))/(dx) = (1+x^2)\ f'(x)+2x\ f(x) $

da cui

$(1+x^2)\ f'(x)+2x\ f(x) = -2x\ f(x)$

$(f'(x))/(f(x))= (-4x)/(1+x^2)$

$log\ f(x) + c = -2 log (1+x^2)$

$f(x)= k /(1+x^2)^2, \ \ \ k>0$

Mi sembra che tutto sia corretto, ma qualcuno abbia pietà e ci dia un'occhio, sono abbastanza fuori allenamento.

[Sk_Anonymous]

Devi determinare $[f(x)]$:

$[(delw_x)/(dely)=(delw_y)/(delx)] rarr$

$rarr [-2xf(x)=2xf(x)+(1+x^2)f'(x)] rarr$

$rarr [(1+x^2)f'(x)=-4xf(x)] rarr$

$rarr [(1+x^2)(dy)/(dx)=-4xy] rarr$

$rarr [dy/y=-(4x)/(1+x^2)dx] rarr$

$rarr [log|y|=-2log(1+x^2)+C_1] rarr$

$rarr [y=C_2/(1+x^2)^2] rarr$

$rarr [f(x)=C_2/(1+x^2)^2]$

@Quinzio
Ci siamo quasi sovrapposti. In ogni modo, non vedo la necessità che sia $[C_2>0]$.

[sangi89]

Non sapevo dell'esistenza di questa condizione, grazie mille
Ad ogni modo, non dovrebbe essere che alla fine si avrebbe: $f(x)=1/((1+x^2)^2)+c2$ ??

[Quinzio]

Eh, hai ragione speculor, dimentico il modulo nell'argomento dl logaritmo.