Forma differenziale e teorema di Gauss-Green
Ciao a tutti 
Sto preparando l'esame di analisi 2 e nella vecchia traccia di un compito ho trovato questo esercizio:
Dimostrare che la forma differenziale:
$\omega(x,y)=2x/(x^2+y^2)dx+(2y/(x^2+y^2)+1)dy$
è esatta, chiarendo l'utilizzo del teorema di Gauss-Green.
Il fatto è che io riesco a determinare una primitiva della forma differenziale, per definizione quindi è esatta, però non so come arrivare a questa conclusione attraverso il teorema di Gauss-Green (che poi credo si riferisca al corollario, quello che ha a che fare con un dominio la cui frontiera è costituita da curve regolari). Sapreste aiutarmi?
--
La primitiva $U$ la calcolo così.
Sapendo che $(delU)/(delx) = 2x/(x^2+y^2)$, integro rispetto ad $x$ ottenendo $log(x^2+y^2) + c(y)$.
Dato che $(delU)/(dely)= 2y/(x^2+y^2)+1$, derivo la U calcolata prima rispetto ad y e pongo:
$2y/(x^2+y^2)+c'(y)=2y/(x^2+y^2)+1$, da cui $c'(y)=1$, quindi $c(y)=y$.
Quindi $U(x,y)=log(x^2+y^2) + y$
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Sto preparando l'esame di analisi 2 e nella vecchia traccia di un compito ho trovato questo esercizio:
Dimostrare che la forma differenziale:
$\omega(x,y)=2x/(x^2+y^2)dx+(2y/(x^2+y^2)+1)dy$
è esatta, chiarendo l'utilizzo del teorema di Gauss-Green.
Il fatto è che io riesco a determinare una primitiva della forma differenziale, per definizione quindi è esatta, però non so come arrivare a questa conclusione attraverso il teorema di Gauss-Green (che poi credo si riferisca al corollario, quello che ha a che fare con un dominio la cui frontiera è costituita da curve regolari). Sapreste aiutarmi?
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La primitiva $U$ la calcolo così.
Sapendo che $(delU)/(delx) = 2x/(x^2+y^2)$, integro rispetto ad $x$ ottenendo $log(x^2+y^2) + c(y)$.
Dato che $(delU)/(dely)= 2y/(x^2+y^2)+1$, derivo la U calcolata prima rispetto ad y e pongo:
$2y/(x^2+y^2)+c'(y)=2y/(x^2+y^2)+1$, da cui $c'(y)=1$, quindi $c(y)=y$.
Quindi $U(x,y)=log(x^2+y^2) + y$
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Risposte
Ciao Ardith
Un modo per risolvere l'esercizio potrebbere essere questo. Chiamo $ A(x,y) $ la funzione che moltiplica $ dx $ e $ B(x,y) $ l'altra. Dire che $ omega $ è esatta $ lArrrArr $ l'integrale lungo una qualsiasi linea chiusa è sempre nullo. Quindi puoi dire che presa una generica linea chiusa(che non circonda l'origine) allora puoi applicare il teorema di Gauss-Green e hai che $ oint_(partialS) A(x,y)dx+B(x,y)dy=int int_(S)^()((partialB)/(partialx)-(partialA)/(partialx)) dx dy =0 $ .
Credo sia giusto, ma magari aspettiamo i pareri di qualcun altro.
Ciao!
Un modo per risolvere l'esercizio potrebbere essere questo. Chiamo $ A(x,y) $ la funzione che moltiplica $ dx $ e $ B(x,y) $ l'altra. Dire che $ omega $ è esatta $ lArrrArr $ l'integrale lungo una qualsiasi linea chiusa è sempre nullo. Quindi puoi dire che presa una generica linea chiusa(che non circonda l'origine) allora puoi applicare il teorema di Gauss-Green e hai che $ oint_(partialS) A(x,y)dx+B(x,y)dy=int int_(S)^()((partialB)/(partialx)-(partialA)/(partialx)) dx dy =0 $ .
Credo sia giusto, ma magari aspettiamo i pareri di qualcun altro.
Ciao!
"Peter Pan":
Ciao Ardith
Un modo per risolvere l'esercizio potrebbere essere questo. Chiamo $ A(x,y) $ la funzione che moltiplica $ dx $ e $ B(x,y) $ l'altra. Dire che $ omega $ è esatta $ lArrrArr $ l'integrale lungo una qualsiasi linea chiusa è sempre nullo. Quindi puoi dire che presa una generica linea chiusa(che non circonda l'origine) allora puoi applicare il teorema di Gauss-Green e hai che $ oint_(partialS) A(x,y)dx+B(x,y)dy=int int_(S)^()((partialB)/(partialx)-(partialA)/(partialx)) dx dy =0 $ .
Credo sia giusto, ma magari aspettiamo i pareri di qualcun altro.
Ciao!
Ciao grazie per la risposta
Non c'entra nulla quindi l'applicazione di questo corollario che ci ha dato il prof?
Dato un dominio $D$ limitato, la cui frontiera è costituita da curve regolari. $partialD+$ è la frontiera percorsa in modo da lasciare a sinistra i punti del dominio. Si ha che:
$int_(partialD+) \omega=0 \Rightarrow int_(partial\gamma_1+) \omega + int_(partial\gamma_2-) \omega =0 \Rightarrow int_(partial\gamma_1+) \omega = int_(partial\gamma_2+) \omega$
Up
Ciao Ardith
In realtà quel corollario è una forma equivalente per dire che l'integrale lungo una linea chiusa fa 0. Immagina di avere una curva chiusa e fissaci sopra due punti A e B. Se vai da A a B il percorso è $ gamma_1 $ poi per tornare indietro passi da $ gamma_2 $. Se chiami $ partialD+ $ l'intero percorso, hai che $ partialD+=gamma_1uugamma_2 $.Allora per l'additività dell'integrale, l'integrale su tutto $ partialD+ $ è la somma degli integrali su ciascuna curva, quindi $ oint_(partialD+) =int_(gamma_1^+)+int_(gamma_2^-)=0rArrint_(gamma_1^+)=-int_(gamma_2^-)=+int_(gamma_2^+) $ . Tutto questo si traduce dicendo che l'integrale non dipende dalla particolare curva che scegli ma solo dal punto di partenza e di arrivo, che è un'altra proprietà delle forme differenziali esatte.
Chiedimi pure se non ti è chiaro.
Ciao!
In realtà quel corollario è una forma equivalente per dire che l'integrale lungo una linea chiusa fa 0. Immagina di avere una curva chiusa e fissaci sopra due punti A e B. Se vai da A a B il percorso è $ gamma_1 $ poi per tornare indietro passi da $ gamma_2 $. Se chiami $ partialD+ $ l'intero percorso, hai che $ partialD+=gamma_1uugamma_2 $.Allora per l'additività dell'integrale, l'integrale su tutto $ partialD+ $ è la somma degli integrali su ciascuna curva, quindi $ oint_(partialD+) =int_(gamma_1^+)+int_(gamma_2^-)=0rArrint_(gamma_1^+)=-int_(gamma_2^-)=+int_(gamma_2^+) $ . Tutto questo si traduce dicendo che l'integrale non dipende dalla particolare curva che scegli ma solo dal punto di partenza e di arrivo, che è un'altra proprietà delle forme differenziali esatte.
Chiedimi pure se non ti è chiaro.
Ciao!
Umh però quando ha parlato di questo corollario ha disegnato una corona circolare indicando con $partialD+$ la frontiera del dominio $D$ racchiuso tra le due curve, con la curva interna percorsa in senso orario ($\gamma_2$), quella esterna in senso antiorario ($\gamma_1$).
Infatti ad esempio ho pensato che questo corollario si potesse applicare in questo esercizio:
Nella prima parte deduco che non è esatta dato che la circuitazione lungo una curva (in questo caso dovrebbe essere una circonferenza di centro l'origine e raggio 1) è diversa da zero.
Poi nella seconda parte ho pensato che potrei rispondere che, in ragione appunto di questo corollario, la circuitazione lungo $\gamma_2$ dovrebbe essere anch'essa uguale ad 1.
(Per l'ultima parte dovrebbe essere possibile dato che essendo la forma diff non esatta, gli integrali curvilinei possono assumumere qualunque valore, diverso o uguale a zero).
E ritornando alla forma differenziale dell'esercizio mi è venuto ora in mente che potrei dire ad esempio che se calcolo la circuitazione lungo la circonferenza di raggio 1 e centro l'origine, e questa mi viene 0, allora l'integrale curvilineo lungo ogni curva è uguale a zero per questo corollario = forma diff. esatta... oppure è sbagliato giustificarlo così?
Grazie mille per la disponibilità
Infatti ad esempio ho pensato che questo corollario si potesse applicare in questo esercizio:
Nella prima parte deduco che non è esatta dato che la circuitazione lungo una curva (in questo caso dovrebbe essere una circonferenza di centro l'origine e raggio 1) è diversa da zero.
Poi nella seconda parte ho pensato che potrei rispondere che, in ragione appunto di questo corollario, la circuitazione lungo $\gamma_2$ dovrebbe essere anch'essa uguale ad 1.
(Per l'ultima parte dovrebbe essere possibile dato che essendo la forma diff non esatta, gli integrali curvilinei possono assumumere qualunque valore, diverso o uguale a zero).
E ritornando alla forma differenziale dell'esercizio mi è venuto ora in mente che potrei dire ad esempio che se calcolo la circuitazione lungo la circonferenza di raggio 1 e centro l'origine, e questa mi viene 0, allora l'integrale curvilineo lungo ogni curva è uguale a zero per questo corollario = forma diff. esatta... oppure è sbagliato giustificarlo così?
Grazie mille per la disponibilità
Ciao Ardith
Supponiamo di avere una corona circolare. Sulla circonferenza più esterna ($ gamma_1 $) fissiamo un punto A. Adesso percorriamola in modo da lasciarci a sinistra il dominio $ D $. Quando sei quasi tornato verso A immagina di entrare nel dominio con una linea e di arrivare fino alla circonferenza più interna ($ gamma_2 $). Per percorrerla lasciandoti a sinistra il tuo dominio devi percorrerla in senso orario. Quando sei di nuovo sul punto in cui sei entrato "esci" da $ gamma_2 $ ripercorrendo la linea e ritorni su $ gamma_1 $ fino a ritrovarti su A. Il risultato è che hai percorso una linea che alla fine risulta essere chiusa. Infatti l'unico elemento di disturbo ( la linea chiusa che usi per "entrare" nel dominio) non conta ai fini dell'integrazione perchè la percorri una volta in un verso e la seconda nel verso opposto e quindi l'integrale fa 0. Allora l'integrale lungo tutta la linea che circonda il dominio, essendo $ omega $ esatta, è nullo e quindi, dato che $ partialD+=gamma_1uugamma_2 $, per l'additività dell'integrale, hai la somma di due integrali uguale a 0. Quindi porti uno dall'altra parte e hai che i due integrali sono uguali. Però tutto si fonda sul fatto che $ partialD+ $ è chiusa e $ omega $ è esatta.
Sto lavorando sulla seconda parte però ho bisogno di un'informazione. $ S(0,1) $ è il cerchio di centro 0 e raggio 1?
"Ardith":
Umh però quando ha parlato di questo corollario ha disegnato una corona circolare indicando con $ partialD+ $ la frontiera del dominio $ D $ racchiuso tra le due curve, con la curva interna percorsa in senso orario ($ \gamma_2 $), quella esterna in senso antiorario ($ \gamma_1 $).
Supponiamo di avere una corona circolare. Sulla circonferenza più esterna ($ gamma_1 $) fissiamo un punto A. Adesso percorriamola in modo da lasciarci a sinistra il dominio $ D $. Quando sei quasi tornato verso A immagina di entrare nel dominio con una linea e di arrivare fino alla circonferenza più interna ($ gamma_2 $). Per percorrerla lasciandoti a sinistra il tuo dominio devi percorrerla in senso orario. Quando sei di nuovo sul punto in cui sei entrato "esci" da $ gamma_2 $ ripercorrendo la linea e ritorni su $ gamma_1 $ fino a ritrovarti su A. Il risultato è che hai percorso una linea che alla fine risulta essere chiusa. Infatti l'unico elemento di disturbo ( la linea chiusa che usi per "entrare" nel dominio) non conta ai fini dell'integrazione perchè la percorri una volta in un verso e la seconda nel verso opposto e quindi l'integrale fa 0. Allora l'integrale lungo tutta la linea che circonda il dominio, essendo $ omega $ esatta, è nullo e quindi, dato che $ partialD+=gamma_1uugamma_2 $, per l'additività dell'integrale, hai la somma di due integrali uguale a 0. Quindi porti uno dall'altra parte e hai che i due integrali sono uguali. Però tutto si fonda sul fatto che $ partialD+ $ è chiusa e $ omega $ è esatta.
Sto lavorando sulla seconda parte però ho bisogno di un'informazione. $ S(0,1) $ è il cerchio di centro 0 e raggio 1?
"Peter Pan":
Sto lavorando sulla seconda parte però ho bisogno di un'informazione. $ S(0,1) $ è il cerchio di centro 0 e raggio 1?
Sì esatto
Però tutto si fonda sul fatto che $ partialD+ $ è chiusa e $ omega $ è esatta.
Ah ho capito!
Ciao Ardith
Questa prima parte è giusta.
Volendo avresti anche potuto utilizzare un teorema che dice così: $ omega $ è esatta su $ Omega lArrrArr $ $ omega $ chiusa e $ Omega $ è semplicemente connesso(non ha buchi). Qui, dato che 0 non è nel dominio, è un buco e quindi $ Omega $ non è esatta.
In realtà la forma differenziale non è esatta se consideriamo tutto $ Omega $. Se ci si restringe alla sola parte destra del piano$ R^2 $(quella di $ P_1 $) cioè $ {(x,y) in R^2: x>0} $ allora la forma differenziale è esatta perchè il nuovo dominio è senza buchi. Così il disco di centro $ P_1 $ e raggio 1 si trova in un luogo in cui $ omega $ è esatta per cui l'integrale è sempre nullo.
Sto finendo l'ultima parte. Scusa se ci metto un pò.
"Ardith":
Nella prima parte deduco che non è esatta dato che la circuitazione lungo una curva (in questo caso dovrebbe essere una circonferenza di centro l'origine e raggio 1) è diversa da zero.
Questa prima parte è giusta.
Volendo avresti anche potuto utilizzare un teorema che dice così: $ omega $ è esatta su $ Omega lArrrArr $ $ omega $ chiusa e $ Omega $ è semplicemente connesso(non ha buchi). Qui, dato che 0 non è nel dominio, è un buco e quindi $ Omega $ non è esatta.
"Ardith":
Per l'ultima parte dovrebbe essere possibile dato che essendo la forma diff non esatta, gli integrali curvilinei possono assumumere qualunque valore, diverso o uguale a zero.
In realtà la forma differenziale non è esatta se consideriamo tutto $ Omega $. Se ci si restringe alla sola parte destra del piano$ R^2 $(quella di $ P_1 $) cioè $ {(x,y) in R^2: x>0} $ allora la forma differenziale è esatta perchè il nuovo dominio è senza buchi. Così il disco di centro $ P_1 $ e raggio 1 si trova in un luogo in cui $ omega $ è esatta per cui l'integrale è sempre nullo.
Sto finendo l'ultima parte. Scusa se ci metto un pò.
"Ardith":
Poi nella seconda parte ho pensato che potrei rispondere che, in ragione appunto di questo corollario, la circuitazione lungo γ2 dovrebbe essere anch'essa uguale ad 1.[...]
E ritornando alla forma differenziale dell'esercizio mi è venuto ora in mente che potrei dire ad esempio che se calcolo la circuitazione lungo la circonferenza di raggio 1 e centro l'origine, e questa mi viene 0, allora l'integrale curvilineo lungo ogni curva è uguale a zero per questo corollario = forma diff. esatta... oppure è sbagliato giustificarlo così?
Non puoi usare il fatto che $ omega $ è esatta su $ Omega $.
E' possibile che l'integrale su $ gamma_2 $ faccia 0 perchè il fatto che $ omega $ non sia esatta implica che esiste una curva chiusa del dominio lungo cui l'integrale è diverso da 0( $ gamma_1 $ appunto) però è possibile che lungo tutte le altre curve l'integrale sia nullo.
Grazie mille di tutto, ora la faccenda mi è più chiara
"Peter Pan":
Ciao Ardith
[quote="Ardith"]Nella prima parte deduco che non è esatta dato che la circuitazione lungo una curva (in questo caso dovrebbe essere una circonferenza di centro l'origine e raggio 1) è diversa da zero.
Questa prima parte è giusta.
Volendo avresti anche potuto utilizzare un teorema che dice così: $ omega $ è esatta su $ Omega lArrrArr $ $ omega $ chiusa e $ Omega $ è semplicemente connesso(non ha buchi). Qui, dato che 0 non è nel dominio, è un buco e quindi $ Omega $ non è esatta.[/quote]
Ma no, cosa dici?!? Attenzione, così confondi le idee alla gente, seminando false convinzioni. Questo che dici è un grossolano errore. Una forma differenziale può tranquillamente essere esatta su un dominio non semplicemente connesso: se i conti di Ardith sono esatti (io non ho controllato), è il caso di questo esercizio. Il "vero" teorema è questo:
una forma differenziale è chiusa su un dominio semplicemente connesso $\Rightarrow$ la forma è esatta.
L'esercizio va probabilmente risolto così, nelle intenzioni dell'esaminatore:
il candidato dovrebbe osservare che la forma differenziale è chiusa su $RR^2 \setminus{0}$, e quindi (Gauss-Green) ogni sua circuitazione su un cammino che non avvolge $0$ si annulla. Non basta a dire che la forma è esatta, perché occorre verificare anche sui cammini che avvolgono l'origine. Tuttavia, se il candidato trova una circonferenza di centro l'origine su cui la circuitazione si annulla, allora può ragionare ancora in termini di Gauss-Green per dimostrare che la circuitazione si annulla su tutti i cammini che avvolgono l'origine. Se invece il candidato trova una circonferenza di centro l'origine su cui la circuitazione non si annulla, allora ha dimostrato che la forma non è esatta.
il candidato dovrebbe osservare che la forma differenziale è chiusa su $RR^2 \setminus{0}$, e quindi (Gauss-Green) ogni sua circuitazione su un cammino che non avvolge $0$ si annulla. Non basta a dire che la forma è esatta, perché occorre verificare anche sui cammini che avvolgono l'origine. Tuttavia, se il candidato trova una circonferenza di centro l'origine su cui la circuitazione si annulla, allora può ragionare ancora in termini di Gauss-Green per dimostrare che la circuitazione si annulla su tutti i cammini che avvolgono l'origine. Se invece il candidato trova una circonferenza di centro l'origine su cui la circuitazione non si annulla, allora ha dimostrato che la forma non è esatta.
Ciao dissonance
scusa, hai ragione, non si tratta di un'equivalenza ma di una implicazione nel verso con cui l'hai scritta tu. Ho ricontrollato ora sul libro.
scusa, hai ragione, non si tratta di un'equivalenza ma di una implicazione nel verso con cui l'hai scritta tu. Ho ricontrollato ora sul libro.
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