Forma differenziale e frontiera quadrato
salve a tutti,
come da titolo ho una forma differenziale che chiameremo $w$.Mi si chiede di calcolarmi l'integrale di $w$ sulla frontiera di un quadrato $[-2,2]x[-2,2]$.
Adesso voglio sapere se il mio ragionamento è giusto.
Innanzitutto provo che la forma differenziale è chiusa tramite le derivate parziali uguali.
Adesso dato che il dominio è $R^2-(0,0)$ , allora bastarebbe prendere una circonferenza contenente il punto (0,0) tale che l'integrale di $w$=0 ,allora sarà esatta.
è giusto?
fin'ora ho fatto solo esercizi in cui la curva era appunto una circonferenza che parametrizzavo e poi mi calcolavo l'integrale tramite il potenziale.
grazie
come da titolo ho una forma differenziale che chiameremo $w$.Mi si chiede di calcolarmi l'integrale di $w$ sulla frontiera di un quadrato $[-2,2]x[-2,2]$.
Adesso voglio sapere se il mio ragionamento è giusto.
Innanzitutto provo che la forma differenziale è chiusa tramite le derivate parziali uguali.
Adesso dato che il dominio è $R^2-(0,0)$ , allora bastarebbe prendere una circonferenza contenente il punto (0,0) tale che l'integrale di $w$=0 ,allora sarà esatta.
è giusto?
fin'ora ho fatto solo esercizi in cui la curva era appunto una circonferenza che parametrizzavo e poi mi calcolavo l'integrale tramite il potenziale.
grazie
Risposte
No, non è giusto. Tu devi calcolare un integrale, non verificare se \(w\) è esatta. Molto probabilmente ti conviene fare direttamente il conto.
ma come faccio direttamente l'integrale su quel quadrato?
come dicevo fin'ora ho sempre avuto curve dove mi venivano dati i punti iniziali e finali e quindi tramite potenziale riuscivo a calcolarmi l'integrale.
Comunque leggendo la teoria ho notato se non sbaglio che se è esatta e quindi chiusa ,allora l'integrale su una superficie chiusa è 0, quindi l'integrale dovrebbe risultare 0, ma non ne sono molto convinto
.
come dicevo fin'ora ho sempre avuto curve dove mi venivano dati i punti iniziali e finali e quindi tramite potenziale riuscivo a calcolarmi l'integrale.
Comunque leggendo la teoria ho notato se non sbaglio che se è esatta e quindi chiusa ,allora l'integrale su una superficie chiusa è 0, quindi l'integrale dovrebbe risultare 0, ma non ne sono molto convinto
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Hai le idee molto confuse, studia la teoria sennò saranno dolori.
Comunque l'integrale su un quadrato è semplice: basta parametrizzare i quattro lati, calcolare i quattro integrali su ciascuno di essi e poi sommare. Fine.
L'altra tua considerazione (se la forma è esatta allora l'ìntegrale si annulla) è banalmente vera: come dovresti sapere una forma differenziale è esatta se e solo se tutte le sue circuitazioni si annullano. Ma come fai a sapere se la tua forma è esatta? Ora il dominio non è semplicemente connesso, quindi non ti basta stabilire che essa è chiusa.
Non c'è molto altro da fare se non mettersi a fare i conti.
Comunque l'integrale su un quadrato è semplice: basta parametrizzare i quattro lati, calcolare i quattro integrali su ciascuno di essi e poi sommare. Fine.
L'altra tua considerazione (se la forma è esatta allora l'ìntegrale si annulla) è banalmente vera: come dovresti sapere una forma differenziale è esatta se e solo se tutte le sue circuitazioni si annullano. Ma come fai a sapere se la tua forma è esatta? Ora il dominio non è semplicemente connesso, quindi non ti basta stabilire che essa è chiusa.
Non c'è molto altro da fare se non mettersi a fare i conti.
grazie.Ho letto la teoria che mi ha chiarito alcune cose.In effetti ho letto che se è chiusa "può" essere esatta SOLO se il dominio è semplicemente connesso ed in questo caso non lo è.
Poi è giusto dire che se non è esatta non ha potenziale??
Quindi mi rimane solamente da calcolare direttamente l'integrale di $w$.Adesso però non vorrei sbagliare con la parametrizzazione, quindi ad esempio preso solo un segmento $AB$(tutta la base del quadrato) allora avrò la seguente parametrizzazione: (0,-2) che andrò a sostituire in $w$?
grazie
Poi è giusto dire che se non è esatta non ha potenziale??
Quindi mi rimane solamente da calcolare direttamente l'integrale di $w$.Adesso però non vorrei sbagliare con la parametrizzazione, quindi ad esempio preso solo un segmento $AB$(tutta la base del quadrato) allora avrò la seguente parametrizzazione: (0,-2) che andrò a sostituire in $w$?
grazie
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