Forma differenziale domino semplicemente connesso localmente
Salve a tutti, ho questa forma differenziale
$(y/x^2+x^3y)dx -((x^5-4)/(4x) +y^3)dy$ devo vedere se è esatta, chiusa e calcolarne l'integrale lungo il segmento che congiunge $(1,1)$ a $(2,\pi)$.
Prima cosa devo dividere il dominio in due semplicemente connessi, cioè $x<0$ e $x>0$, ora se il segno meno lo distribuisco nella parentesi e verifico la chiusura mi viene $1/x^2+x^3=-x^3-1/x^2$ e quindi deduco che non è chiusa a meno di un segno al secondo membro. Se invece non lo considero mi viene chiusa e quindi anche esatta nei due domini.
Calcolo il potenziale $U(x,y)=(x^4y)/4-y/x+y^4/4$
$U(1,1)=-1/2$ mentre $U(2,\pi)=\pi^4/4+7/2\pi$
e quindi l'integrale lungo il segmento è $U(2,\pi)-U(1,1)=\pi^4/4+7/2\pi-1/2$
come devo comportarmi con il segno meno?
$(y/x^2+x^3y)dx -((x^5-4)/(4x) +y^3)dy$ devo vedere se è esatta, chiusa e calcolarne l'integrale lungo il segmento che congiunge $(1,1)$ a $(2,\pi)$.
Prima cosa devo dividere il dominio in due semplicemente connessi, cioè $x<0$ e $x>0$, ora se il segno meno lo distribuisco nella parentesi e verifico la chiusura mi viene $1/x^2+x^3=-x^3-1/x^2$ e quindi deduco che non è chiusa a meno di un segno al secondo membro. Se invece non lo considero mi viene chiusa e quindi anche esatta nei due domini.
Calcolo il potenziale $U(x,y)=(x^4y)/4-y/x+y^4/4$
$U(1,1)=-1/2$ mentre $U(2,\pi)=\pi^4/4+7/2\pi$
e quindi l'integrale lungo il segmento è $U(2,\pi)-U(1,1)=\pi^4/4+7/2\pi-1/2$
come devo comportarmi con il segno meno?
Risposte
"emilianoo":
$U(2,\pi)-U(1,1)=\pi^4/4+7/2\pi-1/2$
In realtà è $\pi^4/4+7/2\pi+1/2$.
Ma sei proprio sicuro che quel $-$ ci sia?
Perché se c'è il potenziale non va bene.
Si scusa ho dimenticato un segno meno, comunque si c'è il segno meno
È un po' strano, comunque se è così quel potenziale (e di conseguenza il calcolo dell'integrale) non va bene.
Infatti ho scritto che non considerando il segno meno il calcolo era quello precedente, perchè una forma non chiusa non è nemmeno esatta e quindi l'integrale si riduce ad un integrale di seconda specie senza passare per il potenziale.
Perché mai dovresti sentirti libero di trascurare una differenza di segno?
era una considerazione che ho fatto, nessuna libertà, infatti la mia richiesta è stata su cosa fare con il segno meno, concludere che non è esatta e calcolare l'integrale che è un procedimento più lungo?
Osservato che la forma non è chiusa, l'integrale lungo un cammino dipende dal cammino; anche prendendo "il segmento" come riferimento per quale cammino vuoi usare, l'integrale dipende dalla parametrizzazione (nulla vieta di percorrere il segmento a velocità o accelerazione non costante, e siccome l'integrale di una forma non chiusa non è invariante per omotopia non lo sarà nemmeno per riparametrizzazioni).
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