Forma differenziale con parametri
Altro esercizio, altro dubbio! Questa volta ho la seguente forma differenziale:
$w=((1-a^2)x+2)/y e^(2x-y)dx-(1+ay)/y^2 e^(2x-y)dy+b/z^2dz$
devo capire per quali a,b in R la forma e' chiusa su $\Omega=R^3-{(x,y,z)inR^3: yz=0}$ e per tali parametri, se la forma e' anche esatta, calcolare un potenziale.
Dunque, perche' la forma sia chiusa deve valere $(dela_j)/(delx_i) = (dela_i)/(delx_j)$ per ogni i,j, quindi nel mio caso ho ottenuto che deve essere: $(1-a)[(1+a)(1+y)x+2y]=0$ da cui discendono $a=1$ e $a=-1-(2y)/x(1+y)$
Per $a=1$ ho trovato il potenziale $F(x,y)=(e^2x-y)/y - b/z$, che e' definito su tutto $\Omega$, quindi la forma e' esatta.
A questo punto, pero', non so come comportarmi nel caso in cui $a=-1-(2y)/x(1+y)$...ho provato a sostituire nella forma differenziale e cercare un potenziale come fatto in precedenza, ma viene assai complicato e mi viene il dubbio che magari ci sia un modo teorico per dimostrare che per tali valori la forma non e' esatta...
Ringrazio in anticipo!
$w=((1-a^2)x+2)/y e^(2x-y)dx-(1+ay)/y^2 e^(2x-y)dy+b/z^2dz$
devo capire per quali a,b in R la forma e' chiusa su $\Omega=R^3-{(x,y,z)inR^3: yz=0}$ e per tali parametri, se la forma e' anche esatta, calcolare un potenziale.
Dunque, perche' la forma sia chiusa deve valere $(dela_j)/(delx_i) = (dela_i)/(delx_j)$ per ogni i,j, quindi nel mio caso ho ottenuto che deve essere: $(1-a)[(1+a)(1+y)x+2y]=0$ da cui discendono $a=1$ e $a=-1-(2y)/x(1+y)$
Per $a=1$ ho trovato il potenziale $F(x,y)=(e^2x-y)/y - b/z$, che e' definito su tutto $\Omega$, quindi la forma e' esatta.
A questo punto, pero', non so come comportarmi nel caso in cui $a=-1-(2y)/x(1+y)$...ho provato a sostituire nella forma differenziale e cercare un potenziale come fatto in precedenza, ma viene assai complicato e mi viene il dubbio che magari ci sia un modo teorico per dimostrare che per tali valori la forma non e' esatta...
Ringrazio in anticipo!
Risposte
No, ma sicuramente si intende che \(a\) deve essere una costante. Quindi hai finito.
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