Forma differenziale chiusa definita in $R^2-{x0,y0}
Buongiorno a tutti ragazzi...se ho una forma differenziale chiusa ma definita non in tutto $R^2$, per vedere che è esatta posso dimostrare che l'ìintegrale curvilineo della forma differenziale lungo una curva chiusa (ad esempio una circonferenza) fa zero??
Grazie delle risposte
Buon week-end a tutti
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Risposte
"dlbp":
Buongiorno a tutti ragazzi...se ho una forma differenziale chiusa ma definita non in tutto $R^2$, per vedere che è esatta posso dimostrare che l'ìintegrale curvilineo della forma differenziale lungo una curva chiusa (ad esempio una circonferenza) fa zero??
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si esattamente.puoi vedere che l'integrale curvilineo lunga una curva chiusa contenente il punto $(x_0,y_0)$ fa zero.
"mazzy89":
si esattamente.puoi vedere che l'integrale curvilineo lunga una curva chiusa contenente il punto $(x_0,y_0)$ fa zero.
Beh non proprio, in realtà questo andrebbe provato per ogni curva chiusa avente sostegno del dominio, cosa non agevole in generale.
Spesso una primitiva della forma differenziale si può trovare facendo qualche conto, non considerando quindi chiusura o altri criteri.
una condizione equivalente a $\int_\gamma \omega dt=0$ per ogni curva chiusa $\gamma$ contenuta in A è che
se $\phi $ e $\psi$ sono curve regolari a tratti contenute in A e hanno gli stessi estremi e lo stesso verso di percorrenza
$\int_\phi \omega dt$=$\int_\psi \omega dt$
cioè $\omega $ è esatta se l'integrale curvilineo non dipende dal cammino scelto ma solo dagli estremi di integrazione
potresti provare lungo due poligonali
se $\phi $ e $\psi$ sono curve regolari a tratti contenute in A e hanno gli stessi estremi e lo stesso verso di percorrenza
$\int_\phi \omega dt$=$\int_\psi \omega dt$
cioè $\omega $ è esatta se l'integrale curvilineo non dipende dal cammino scelto ma solo dagli estremi di integrazione
potresti provare lungo due poligonali
"anticristo":
potresti provare lungo due poligonali
Ripeto, non prova nulla questo.
Andrebbe provato su tutti i possibili percorsi.
ok quindi nessuna forma differenziale è esatta su nessun dominio che non sia semplicemente connesso ?quindi per calcolare l'integrale curvilineo bisogna svolgere l'integrale?quindi a che serve una primitiva di una forma differenziale non esatta?
Ti consiglio di studiarti un po' di teoria, hai le idee troppo confuse.
in caso di discontinuità del dominio si determinano le primitive delle restrizioni esatte di $\omega$?
"Steven":
[quote="anticristo"]
potresti provare lungo due poligonali
Ripeto, non prova nulla questo.
Andrebbe provato su tutti i possibili percorsi.[/quote]
In $R^2$ meno un punto no.basta una curva chiusa che gira attorno al punto.
quoto edge, basta che dimostri che per ogni punto escluso dal dominio , grazie al quale non hai un dominio stellato, esiste una curva chiusa attorno ad un solo punto alla volta tale che l'integrale della forma su quela curva sia nullo
Precisamente se ne hai uno solo prendi una curva che gira intorno ad esso.
Se ne hai due devi prendere una curva che gira intorno solo ad uno,un secondo circuito che gira intorno al secondo punto.
Ed un ultimo circuito che gira intorno ad entrambi..
Se ne hai due devi prendere una curva che gira intorno solo ad uno,un secondo circuito che gira intorno al secondo punto.
Ed un ultimo circuito che gira intorno ad entrambi..
"edge":
In $R^2$ meno un punto no.basta una curva chiusa che gira attorno al punto.
Ok, con l'ipotesi di chiusura, che in effetti era presente nel problema (quindi mazzy89 diceva bene).
Il mio post era rivolto soprattutto ad anticristo, che mi pareva facesse un discorso generale e fuori da queste particolari ipotesi (punto isolato fuori dominio e chiusura).
Ma poi AntiCristo cambia Nick,se metti AntiChiesa tanto tanto..
Ma AntiCristo mi da troppo di blasfemo,e io di sicuro non sono un cristiano di quelli esemplari.
Ma AntiCristo mi da troppo di blasfemo,e io di sicuro non sono un cristiano di quelli esemplari.
"edge":
Ma poi AntiCristo cambia Nick,se metti AntiChiesa tanto tanto..
Ma AntiCristo mi da troppo di blasfemo,e io di sicuro non sono un cristiano di quelli esemplari.
mi pare sia un po' ai limiti del regolamento, tuttavia in quest'ultimo non si fa mai esplicito riferimento alla religione
mi sembra di aver capito che il metodo della curva chiusa serve più che altro a dimostrare che la forma NON è esatta e non il contrario poichè come dice steven è impossibile considerare tutte le curve contenute nel dominio $(R^2)$
io valuterei caso per caso, perchè come ha fatto notare edge, anche vedere che la circuitazione è nulla può essere utile per far vedere che una forma è esatta (poco fa ti ho risposto a una domanda sulle forme differenziali nell'altro topic.. se guardi due post prima della tua domanda, ho spiegato il perchè di questa cosa).
comunque poichè una condizione necessaria e sufficiente affinchè una forma sia esatta è proprio che la circuitazione lungo ogni curva chiusa sia nulla, allora se ne trovi anche solo una per cui la circuitazione è diversa da 0 puoi dedurre che la forma non è esatta
comunque poichè una condizione necessaria e sufficiente affinchè una forma sia esatta è proprio che la circuitazione lungo ogni curva chiusa sia nulla, allora se ne trovi anche solo una per cui la circuitazione è diversa da 0 puoi dedurre che la forma non è esatta
scusate se ho pubblicato quasi lo stesso messaggio in due topic ma qui mi sembra più appropriato:
sul marcellini sbordone ho visto un esercizio che applica il teorema di caratterizzazione delle forme esatte per dimostrare che una forma chiusa in $R^2-(0,0)$ è esatta in $R^2-(0,0)$ se è nullo
l'integrale di $\omega$ lungo UNA curva chiusa che circonda l'origine :si prova che $\omega $ è esatta in $R^2-(0,0)$ mostrando che è nullo l'integrale curvilineo di $\omega$ esteso ad ogni curva chiusa $\phi$ .
Si considera una curva generica $\phi $ che circonda l'origine e collega $\phi $ e $ \phi_0$ con un segmento ottenendo un insieme completamente contenuto in $R^2-(0,0)$;
poi dato che i due integrali estesi al segmento si elidono, si ha:
$int_\phi \omega - int_(\phi_0) \omega =0$ quindi $int_\phi \omega= int_(\phi_0) \omega= 0$
e il risultato vale anche se $\phi $ non circonda l'origine...
quindi in questo caso non è necessario fare infiniti integrali per considerare tutte le curve.
sul marcellini sbordone ho visto un esercizio che applica il teorema di caratterizzazione delle forme esatte per dimostrare che una forma chiusa in $R^2-(0,0)$ è esatta in $R^2-(0,0)$ se è nullo
l'integrale di $\omega$ lungo UNA curva chiusa che circonda l'origine :si prova che $\omega $ è esatta in $R^2-(0,0)$ mostrando che è nullo l'integrale curvilineo di $\omega$ esteso ad ogni curva chiusa $\phi$ .
Si considera una curva generica $\phi $ che circonda l'origine e collega $\phi $ e $ \phi_0$ con un segmento ottenendo un insieme completamente contenuto in $R^2-(0,0)$;
poi dato che i due integrali estesi al segmento si elidono, si ha:
$int_\phi \omega - int_(\phi_0) \omega =0$ quindi $int_\phi \omega= int_(\phi_0) \omega= 0$
e il risultato vale anche se $\phi $ non circonda l'origine...
quindi in questo caso non è necessario fare infiniti integrali per considerare tutte le curve.
ti ho risposto di là..
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