Forma differenziale al variare di un parametro

[Johnny_Mnemonic]

Allora la traccia richiede di studiare al variare del parametro $\alpha$ la forma differenziale:

$\omega_{\alpha}=\frac{2x+2\alpha}{x^{2}+4y^{2}-4}dx+\frac{8y}{x^{2}+4y^{2}-4}dy$

Per prima cosa vedo se è soddisfatta la condizione necessaria ma non sufficente per la quale se la forma differenziale non è chiusa allora non è esatta.
Se la forma differenziale è chiusa allora deve risultare che $\frac{dF_{i}}{dx_{j}}=\frac{dF_{j}}{dx_{i}}$

Allora dopo i calcoli ho ottenuto che:

$\frac{dF_{1}}{dy}=\frac{-16xy-16\alpha y}{(x^{2}+4y^{2}-4)^{2}}$
$\frac{dF_{2}}{dx}=\frac{-16xy}{(x^{2}+4y^{2}-4)^{2}}$

Allora la forma differenziale è chiusa se e solo se il parametro è uguale a zero.

Fin'ora come sto andando?

[Johnny_Mnemonic]

Suppongo che la forma differenziale sia esatta, cioè che sia possibile associare alla forma differenziale il gradiente di una funzione.
Detta U la funzione potenziale o primitiva di "\omega" deve allora risultare che $\frac{dU}{dx_{i}}=F_{i}$
Quindi si ha che:

$\frac{dU}{dx}=F_{1}=\frac{2x}{x^{2}+4y^{2}-4}$
$\frac{dU}{dy}=F_{2}=\frac{8y}{x^{2}+4y^{2}-4}$

Integro la prima per y costante rispetto ad x ed ottengo:

$U(x,y)=\int\frac{2x}{x^{2}+4y^{2}-4}dx=\log|x^{2}+4y^{2}-4|+C(y)$

Quindi deve risultare:

$\frac{dU}{dy}=\frac{1}{|x^{2}+4y^{2}-4|}sgn(x^{2}+4y^{2}-4)*8y+C'(y)=\frac{8y}{x^{2}+4y^{2}-4}$

Allora abbiamo che C'(y)=0 ossia C(y)=A con A reale.
Si ottiene che:

$U(x,y)=\int\frac{2x}{x^{2}+4y^{2}-4}dx=\log|x^{2}+4y^{2}-4|+A$

A posteriori quindi verifico che la forma differenziale è esatta, infatti:

$\frac{dU}{dy}=\frac{8y}{x^{2}+4y^{2}-4}$
$\frac{dU}{dx}=\frac{2x}{x^{2}+4y^{2}-4}$

Che ne pensate...può andare?

[andra_zx]

si va bene.. poi una volta che hai fatto la verifica per vedere se i conti tornano non ci sono problemi

[Johnny_Mnemonic]

grazie andra .... se qualcuno ha consigli su qualcosa che ho trascurato ditemi per favore ..... vediamo se imparo un pò di matematica