Forma differenziale
Buon pomeriggio forum
Ho qualche dubbio su questo esercizio d'esame:
devo calcolare l'insieme di definizione:
$\omega = y log (1+xy) dx - x log (1+xy)$
$1+xy > 1$
$xy >0$ cioè $x>0, y>0$ e $x<0, y<0$
dire se è esatta.
se fosse esatta, implicherebbe che sia chiusa.
però ho notato che non è nemmeno chiusa.....poichè:
$da/dx =((x y)/(1+x y)+log(1+x y))$
$db/dx =(-(x y)/(1+x y)-log(1+x y))$
quindi l'esercizio successivo che mi chiede:
calcolare facendo uso delle formule di gauss green l'integrale curvilineo di $\omega$ esteso alla curva che ha per sostegno la frontiera del quadrilatero di $R^2$ di vertici $(0,0)$ $(2,2)$ $(4,3)$ $(1,0)$ orientata negativamente...
Ho qualche dubbio su questo esercizio d'esame:
devo calcolare l'insieme di definizione:
$\omega = y log (1+xy) dx - x log (1+xy)$
$1+xy > 1$
$xy >0$ cioè $x>0, y>0$ e $x<0, y<0$
dire se è esatta.
se fosse esatta, implicherebbe che sia chiusa.
però ho notato che non è nemmeno chiusa.....poichè:
$da/dx =((x y)/(1+x y)+log(1+x y))$
$db/dx =(-(x y)/(1+x y)-log(1+x y))$
quindi l'esercizio successivo che mi chiede:
calcolare facendo uso delle formule di gauss green l'integrale curvilineo di $\omega$ esteso alla curva che ha per sostegno la frontiera del quadrilatero di $R^2$ di vertici $(0,0)$ $(2,2)$ $(4,3)$ $(1,0)$ orientata negativamente...
Risposte
"bartsimpson":
però ho notato che non è nemmeno chiusa.....poichè:
$da/dx =((x y)/(1+x y)+log(1+x y))$
$db/dx =(-(x y)/(1+x y)-log(1+x y))$
Già, non sembra chiusa. Tuttavia per quanto riguarda l'insieme di definizione, l'argomento del logaritmo deve essere positivo (>0), non maggiore di 1.
Un appunto per la notazione. Quella corretta è $\frac{\partial a}{\partial x}$ perché per definizione di forma differenziale (poi lo vedi anche nel tuo esercizio

Quindi vai a calcolare una derivata parziale, non una derivata di una funzione ad una variabile...
notazione importantissima! grazie per la dritta.
se non è chiusa, pensare per l'esattezza non ci arrivo proprio, bene
una domanda: se ci fossero stati dei buchi nell'insieme di definizione tipo $x=\0$ e se fosse stata chiusa avrei potuto affermare che poteva essere esatta SOLO localmente?
se non è chiusa, pensare per l'esattezza non ci arrivo proprio, bene
una domanda: se ci fossero stati dei buchi nell'insieme di definizione tipo $x=\0$ e se fosse stata chiusa avrei potuto affermare che poteva essere esatta SOLO localmente?
Se la forma non è chiusa, non può essere esatta.
se ci fosse un buco in $(x,y)=(0,0)$ allora la forma sarebbe esatta se l'integrale curvilineo lungo una curva chiusa che circonda il buco è 0