Forma differenziale

[ee4]

Buon pomeriggio forum
Ho qualche dubbio su questo esercizio d'esame:
devo calcolare l'insieme di definizione:

$\omega = y log (1+xy) dx - x log (1+xy)$

$1+xy > 1$
$xy >0$ cioè $x>0, y>0$ e $x<0, y<0$

dire se è esatta.

se fosse esatta, implicherebbe che sia chiusa.

però ho notato che non è nemmeno chiusa.....poichè:

$da/dx =((x y)/(1+x y)+log(1+x y))$

$db/dx =(-(x y)/(1+x y)-log(1+x y))$

quindi l'esercizio successivo che mi chiede:
calcolare facendo uso delle formule di gauss green l'integrale curvilineo di $\omega$ esteso alla curva che ha per sostegno la frontiera del quadrilatero di $R^2$ di vertici $(0,0)$ $(2,2)$ $(4,3)$ $(1,0)$ orientata negativamente...

[Zero87]

"bartsimpson":però ho notato che non è nemmeno chiusa.....poichè:

$da/dx =((x y)/(1+x y)+log(1+x y))$

$db/dx =(-(x y)/(1+x y)-log(1+x y))$

Già, non sembra chiusa. Tuttavia per quanto riguarda l'insieme di definizione, l'argomento del logaritmo deve essere positivo (>0), non maggiore di 1.

Un appunto per la notazione. Quella corretta è $\frac{\partial a}{\partial x}$ perché per definizione di forma differenziale (poi lo vedi anche nel tuo esercizio ) $a=a(x,y)$ e stessa cosa per $b$.
Quindi vai a calcolare una derivata parziale, non una derivata di una funzione ad una variabile...

[ee4]

notazione importantissima! grazie per la dritta.
se non è chiusa, pensare per l'esattezza non ci arrivo proprio, bene
una domanda: se ci fossero stati dei buchi nell'insieme di definizione tipo $x=\0$ e se fosse stata chiusa avrei potuto affermare che poteva essere esatta SOLO localmente?

[poncelet]

Se la forma non è chiusa, non può essere esatta.

[robe921]

se ci fosse un buco in $(x,y)=(0,0)$ allora la forma sarebbe esatta se l'integrale curvilineo lungo una curva chiusa che circonda il buco è 0