Forma differenziale
Data la forma differenziale W dire se è chiusa
$W=(x/((x^2)+(y^2)) + ycosxy)dx + (y/((x^2)+(y^2)) + xcosxy)dy$
Sotituisco x=cost e y=sint, dx=-sint e dy=cost. Faccio l'integrale ta 0 e 2pigreco.
Però arrivo qui e non so continuare per via del termine cos(cost*sint)
$\int_{0}^{2\pi}sint(sint-cost)[1-cos(cost*sint)]dt$
Ho sbagliato qualcosa?
$W=(x/((x^2)+(y^2)) + ycosxy)dx + (y/((x^2)+(y^2)) + xcosxy)dy$
Sotituisco x=cost e y=sint, dx=-sint e dy=cost. Faccio l'integrale ta 0 e 2pigreco.
Però arrivo qui e non so continuare per via del termine cos(cost*sint)
$\int_{0}^{2\pi}sint(sint-cost)[1-cos(cost*sint)]dt$
Ho sbagliato qualcosa?
Risposte
Guarda che per verificare la chiusura di una forma differenziale lineare devi semplicemente verificare che:
$AA i,j in (1....,n)|i!=j$
$D_i omega_j =D_j omega_i$
$AA i,j in (1....,n)|i!=j$
$D_i omega_j =D_j omega_i$
La mia professoressa ci fa fare così:
La curva è chiusa se l'integrale scritto sopra è uguale a zero.
La curva è esatta se X'(y)=Y'(x)
La curva è chiusa se l'integrale scritto sopra è uguale a zero.
La curva è esatta se X'(y)=Y'(x)
Allora, facciamo un piccolo chiarimento:
Tu in questo caso hai una forma differenziale lineare del tipo:
$omega=omega_1dx+omega_2dy$
La forma differenziale lineare è chiusa $<=>$ $(\partialomega_1)/(\partialy)=(\partialomega_2)/(\partialx)$.
Una forma differenziale lineare è esatta se ammette funzione $f$ scalare differenziabile tale che $df=omega$ o in modo equivalente se $AA i in (1,2...n) D_i f=omega_i$.
$omega$ esatta $=>$ $omega$ chiusa. (con l'ipotesi che $omega$ sia di classe $C^1$(ammetta tutte le derivate parziali e queste debbono essere continue,oppure va bene anche l'ipotesi $omega$ differenziabile)).
(Perchè se $omega$ è esatta ammette $f$ tale che $df=omega$ ma $df=sum_(i=0)^(n)D_i f*dx_i$, ma poichè $omega$ è di classe $C^1$, $f$ è di classe $C^2$,ma se $f$ è di classe $C^2$ $df$ (per Schwartz è chiusa) allora $omega$ è chiusa).
Se è esatta inoltre l'integrale su qualsiasi traiettoria chiusa è nullo, l'integrale non dipende dalla traiettoria ma solo dal punto di partenza e di arrivo.
Ora prova a farlo
Tu in questo caso hai una forma differenziale lineare del tipo:
$omega=omega_1dx+omega_2dy$
La forma differenziale lineare è chiusa $<=>$ $(\partialomega_1)/(\partialy)=(\partialomega_2)/(\partialx)$.
Una forma differenziale lineare è esatta se ammette funzione $f$ scalare differenziabile tale che $df=omega$ o in modo equivalente se $AA i in (1,2...n) D_i f=omega_i$.
$omega$ esatta $=>$ $omega$ chiusa. (con l'ipotesi che $omega$ sia di classe $C^1$(ammetta tutte le derivate parziali e queste debbono essere continue,oppure va bene anche l'ipotesi $omega$ differenziabile)).
(Perchè se $omega$ è esatta ammette $f$ tale che $df=omega$ ma $df=sum_(i=0)^(n)D_i f*dx_i$, ma poichè $omega$ è di classe $C^1$, $f$ è di classe $C^2$,ma se $f$ è di classe $C^2$ $df$ (per Schwartz è chiusa) allora $omega$ è chiusa).
Se è esatta inoltre l'integrale su qualsiasi traiettoria chiusa è nullo, l'integrale non dipende dalla traiettoria ma solo dal punto di partenza e di arrivo.
Ora prova a farlo
Ok per il fatto di dimostrare che è chiusa sono d'accordo. Però non riesco a capire come dimostrare che sia esatta.
purtroppo il dominio non è uno stellato/semplicemente connesso quindi la cosa non va in automatico.
Dal momento che il dominio è $RR^2-(0,0)$ come mi sembra stessi facendo prima prendi una qualsiasi traiettoria chiusa che "circondi il punto" $(0,0)$ e verifichi se l'integrale su quella traiettoria venga effettivamente $0$.
Prendi ad esempio una traiettoria su una circonferenza unitaria con origine al centro:
$phi:[0,2pi]->RR^2,t->(cos(t),sin(t))$
Allora $int_phi omega=int_0^(2pi) ((cos(t)+sin(t)cos(cos(t)sin(t)))*-sin(t)+(sin(t)+cos(t)cos(cos(t)sin(t))*)cos(t))dt =$
$int_0^(2pi)(-sin(t)cos(t)-sin^2(t)cos(cos(t)sin(t))+sin(t)cos(t)+cos^2(t)cos(cos(t)sin(t)))dt=$
$int_0^(2pi)(-sin^2(t)cos(cos(t)sin(t))+cos^2(t)cos(cos(t)sin(t)))dt=$
$int_0^(2pi)(cos(cos(t)sin(t))*(cos^2(t)-sin^2(t)))dt=$
$[sin(cos(t)sin(t))]_0^(2pi)=0$
Quindi $omega$ è esatta!
Dal momento che il dominio è $RR^2-(0,0)$ come mi sembra stessi facendo prima prendi una qualsiasi traiettoria chiusa che "circondi il punto" $(0,0)$ e verifichi se l'integrale su quella traiettoria venga effettivamente $0$.
Prendi ad esempio una traiettoria su una circonferenza unitaria con origine al centro:
$phi:[0,2pi]->RR^2,t->(cos(t),sin(t))$
Allora $int_phi omega=int_0^(2pi) ((cos(t)+sin(t)cos(cos(t)sin(t)))*-sin(t)+(sin(t)+cos(t)cos(cos(t)sin(t))*)cos(t))dt =$
$int_0^(2pi)(-sin(t)cos(t)-sin^2(t)cos(cos(t)sin(t))+sin(t)cos(t)+cos^2(t)cos(cos(t)sin(t)))dt=$
$int_0^(2pi)(-sin^2(t)cos(cos(t)sin(t))+cos^2(t)cos(cos(t)sin(t)))dt=$
$int_0^(2pi)(cos(cos(t)sin(t))*(cos^2(t)-sin^2(t)))dt=$
$[sin(cos(t)sin(t))]_0^(2pi)=0$
Quindi $omega$ è esatta!
Ok quindi sostanzialmente l'integrale che stavo facendo. Ora però mi rimane il problema di integrare quel termine cos(cost*sint). Ho pensato che essendo cost*sint argomento di un coseno uscirà sicuramente qualcosa tra 0 e 1. Avendo t che varia tra 0 e 2 pigreco credo che il termine è [1-cos(cost*sint)] venga 0. E' plausibile o ho detto una stupidagine?
Se guardi l'integrale te l'ho calcolato sopra
Scusami no l'avevo visto. Grazie della pazienza.
Di niente! 
Un ultima domanda: se la forma differenziale è semplicemente connessa, cioè non ha buchi come: $((2x*y^2)/(1+x^2y^2)^2)dx+ ((2x^2*y)/(1+x^2y^2)^2)dy$, basta anche la condizione $(delw1)/(dely)=(delw2)/(delx)$?
Se il dominio della forma differenziale è semplicemente connesso / stellato allora vale $omega$ chiusa $<=>$ $omega$ esatta.
Quindi ti basta solo verificare la chiusura!
Quindi ti basta solo verificare la chiusura
!
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