Forma differenziale
Determinare due funzioni tale che la forma differenziale sia esatta:
$w=f(x)e^(x+y)dx+xg(y)e^x$
Io ho proceduto svolgendo l'esercizio secondo quanto consigliatomi in un altro post del forum:
ho supposto quindi che sia esatta e ho verficato la chiusura, quindi:
$a_y(x,y)=b_x(x,y)$
allora diventa
$f(x)e^(x+y)=xg(y)e^x$
quindi
$f(x)e^y=(1+x)g(y)$
$f(x)/(1+x)=g(y)/e^y$
e ora che faccio???? devo risolvere come se fosse un'equazione differenziale a variabili separabili....
$w=f(x)e^(x+y)dx+xg(y)e^x$
Io ho proceduto svolgendo l'esercizio secondo quanto consigliatomi in un altro post del forum:
ho supposto quindi che sia esatta e ho verficato la chiusura, quindi:
$a_y(x,y)=b_x(x,y)$
allora diventa
$f(x)e^(x+y)=xg(y)e^x$
quindi
$f(x)e^y=(1+x)g(y)$
$f(x)/(1+x)=g(y)/e^y$
e ora che faccio???? devo risolvere come se fosse un'equazione differenziale a variabili separabili....
Risposte
Da una parte c'è una funzione che dipende solo di $x$, e dall'altra una che dipende solo di $y$, dunque entrambe sono costante.
Scusa, ma non ho capito....perchè f(x) e g(y) sono costanti.....
L'equazione è valida per ogni $x\neq -1$ e $y$. Se fissi per esempio $y=0$ trovi che per ogni $x\neq -1$: $\frac{f(x)}{1+x}=g(0)$. Puoi fare la stessa cosa per vedere che $g(y)=f(0)e^y$.
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