Forma differenziale

[gabyaki881]

un dominio del tipo $R^2$-{0,0} non è semplicemente connesso giusto? quindi la forma differenziale con tale dominio non è esatta e quindi non posso trovarne una primitiva vero?

[ciampax]

Giusto.

[gabyaki881]

grazie ciampax mi stai togliendo molti dubbi sebbene tu mi abbia dato del Dr House ciao e grazie ancora!

[amivaleo]

c'è proprio un teorema che afferma esattamente "ogni forma differenziale chiusa in un insieme semplicemente connesso è esatta". la dimostrazione è mezza riga grazie alla formula di gauss-green.

edit:
uhm... mi è sorto ora un dubbio però: se decade l'ipotesi, niente si può dire sulla tesi...
quindi se l'insieme non è semplicemente connesso... boh! qualche forma diff. potrebbe sempre essere esatta, dico bene?

[gabyaki881]

comunque in merito vi chiedo posso calcolare l'integrale lungo una circonferenza di raggio 4 delle forma differenziale che ho citato prima con dominio $R^2$-{0,0} non semplicemente connesso? perchè così ragionando senza calcoli direi che fa 0

[ciampax]

Falso. Il fatto che la forma non sia conservativa non ti assicura che il suo integrale sia nullo. Poi, potrebbe esserlo, ma non è certo. Ad esempio se integri $\omega=\frac{x}{x^2+y^2}\ dx+\frac{y}{x^2+y^2}\ dy$ lungo una circonferenza qualsiasi centrata nell'origine, il suo integrale non è zero (perché la forma risulta chiusa sull'insieme di cui sopra).

In questi casi devi, purtroppo, calcolare "a mano" l'integrale.

[gabyaki881]

scusami la circonferenza ha raggio 2 ed è centrata in (4,4)

[gabyaki881]

allora la forma differenziale è $ w= (2/x +y)dx+(2/y +x)dy $ ..parametrizzando la circonferenza in senso antiorario mi viene x(t)=4+2cos(t) e y(t)=4+2sen(t) con $ t in (0,6pi) $ perchè devo percorrere la circonferenza 3 volte

[ciampax]

Aspetta, chiariamo una cosa: Se la curva circonda il punto che escludi, allora l'integrale non è detto che valga zero. Ma se la curva è tutta contenuta in una porzione del dominio che non contiene quel punto, allora su tale porzione la forma risulta localmente esatta e quindi l'integrale è nullo. In ogni caso, ti faccio presente che quella forma non è definita per tutti i punti del tipo $(x,0)$ e $(0,y)$ (assi coordinati).