Forma differenziale
Salve...mi aiutate ad impostare questo esercizio??
Determinare una funzione $phi in C^1 (R)$ con $phi(0)=1$, tale che la forma differenziale $omega=(2x+phi(y))dx+x(y-phi(y))dy$ sia esatta, e calcolare la primitiva che si annulla in (0,0).
Allora io ho pensato che se $omega$ è esatta allora è chiusa quindi è chiusa...quindi ottengo $phi'(y)=y-phi(y)$...A questo punto lo affronto come un problema di Cauchy? E allora ottengo $phi'(y)+phi(y)=y$ a questo punto non so come continuare...
Determinare una funzione $phi in C^1 (R)$ con $phi(0)=1$, tale che la forma differenziale $omega=(2x+phi(y))dx+x(y-phi(y))dy$ sia esatta, e calcolare la primitiva che si annulla in (0,0).
Allora io ho pensato che se $omega$ è esatta allora è chiusa quindi è chiusa...quindi ottengo $phi'(y)=y-phi(y)$...A questo punto lo affronto come un problema di Cauchy? E allora ottengo $phi'(y)+phi(y)=y$ a questo punto non so come continuare...
Risposte
Si tratta di una semplice equazione differenziale lineare del 1° ordine. La soluzione dovrebbe essere $\phi(y)=Ae^(-y)+y-1$, con $A$ costante arbitraria. Devi solo imporre $\phi(0)=1$.
scusa speculor mi puoi spiegare come l'hai ottenuta? perchè non riesco a risolverla...grazie=)
Esiste una formula risolutiva. Dovresti trovarla da qualche parte. Altrimenti, prima risolvi l'omogenea, molto semplice e a variabili separabili. Quindi determini un integrale particolare della non omogenea, $\phi(y)=y-1$, determinata "a naso".
si l'avevo pensato di trovare l'omogenea e poi quella non omogenea però non so trovare la non omogenea...vabbè allora cerco la formula risolutiva...
La soluzione particolare della non omogenea può essere cercata nella forma $\phi(y)=ay+b$.
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