Forma Differenziale

[Darius901]

Ciao a tutti, ho un problema con questo esercizio:
Verificare che la forma differenziale è esatta e calcolarne la primitiva che nel punto (1,1) assume valore 2.
Ho già verificato il fatto che sia chiusa con le derivate, però non mi ricordo bene come si procede per determinare una primitiva.
Ho provato ponendo a(x,y) e b(x,y) come derivate della funzione ma gli integrali che escono sono un pò un casino, per questo sapendo che si può risolvere questo problema anche utilizzando l'integrale curvilineo vorrei sapere come devo procedere.
Grazie

[Darius901]

La riscrivo così forse si capisce meglio :
$omega=1/(sqrt(x^2+y^2))dx+(1/y-x/(y*sqrt(x^2+y^2)))dy$

[gugo82]

Prova a prendere la primitiva [tex]$U(x,y)$[/tex] come integrale [tex]$a(x,y)=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$[/tex] rispetto ad [tex]$x$[/tex] più una costante arbitraria espressa in funzione della sola [tex]$y$[/tex]:

[tex]$U(x,y)=\int a(x,y)\ \text{d} x +\gamma (y)$[/tex];

poi deriva [tex]$U$[/tex] rispetto ad [tex]$y$[/tex] ed imponi che [tex]$U_y=b$[/tex]: in tal modo avrai sotto mano un'equazione differenziale del primo ordine da risolvere rispetto all'incognita [tex]$\gamma (y)$[/tex].

Viceversa, puoi anche scambiare i ruoli delle variabili e scrivere:

[tex]$U(x,y)=\int b(x,y)\ \text{d} y +\gamma (x)$[/tex]

e determinare [tex]$\gamma (x)$[/tex] risolvendo l'equazionie differenziale del primo ordine che si ottiene imponendo [tex]$U_x =a$[/tex].

[Darius901]

gugo82 scusami ma era proprio questo che ho provato a fare ma non ci sono riuscito, forse non sono stato chiare nel primo messaggio, perchè l'integrale $ int 1/sqrt(x^2+y^2)dx $ è un pò una scocciatura e quindi chiedevo se c'era un altro modo per risolvere il problema?