Forma differenziale

[kry_98]

Sto studiando scienza delle costruzioni: in uno spazio euclideo $xyz$ un continuo in configurazione iniziale occupa uno spazio $Ω_0$ e si vuole definire una funzione vettoriale $ vec(u):Ω_0->R^3 $ che descriva lo spostamento dei punti del continuo.

Sotto le opportune ipotesi (continuità ed esistenza delle derivate parziali) risulta che:
$ vec(u)(x,y,z)=vec(u_p)(x_0,y_0,z_0)+vec(δu)(x,y,z) $
dove $ vec(u_p)(x_0,y_0,z_0) $ è nota con $P=(x_0,y_0,z_0)$ e
$ vec(δu)(x,y,z)=vec(u)(x_0+δx, y_0+δy, z_0+δz)-vec(u_p)(x_0,y_0,z_0) $
con $Q=(x_0+δx, y_0 +δy, z_0+δz)$.

Sviluppando in serie e considerando ad esempio
$ δu_x~(partial u_x)/(partial x)(x_0,y_0,z_0)δx+(partial u_x)/(partial y)(x_0,y_0,z_0)δy+(partial u_x)/(partial z)(x_0,y_0,z_0)δz $
si ha che se $δx, δu, δz$ sono sufficientemente piccoli allora $δu_x $ è ben approssimata da quello sviluppo.

La domanda è: posso scrivere uno “sviluppo esatto” scrivendo un differenziale? Farei
$du_x=(partial u_x)/(partial x)(x,y,z)dx+(partial u_x)/(partial y)(x,y,z)dy+(partial u_x)/(partial z)(x,y,z)dz $
in questo modo dovrei conoscere le funzioni derivate parziali in ogni punto del continuo giusto?
Per trovare $ vec(u) $ ricorrerei all’integrazione, ma non capisco bene come.
Intuitivamente direi
$u_x(x,y,z)-u_(x0)(x_0,y_0,z_0)=int_(x_0)^(x)(partial u_x)/(partial x)dx+int_(y_0)^(y)(partial u_x)/(partial y)dy+int_(z_0)^z(partial u_x)/(partial z)dz $
e così via.

Credo sia una forma differenziale ma nei miei corsi di analisi non le ho incontrate perciò non le conosco, qualcuno può illuminarmi?

EDIT: Ho modificato il messaggio perché ho scritto una stupidaggine.

[solaàl]

"kry_98":
$du_x=(partial u_x)/(partial x)(x,y,z)dx+(partial u_x)/(partial y)(x,y,z)dy+(partial u_x)/(partial z)(x,y,z)dz $

Questa è una forma differenziale, sì; è esattamente il differenziale o derivata esterna di \(u\); il problema, però, è che a partire da \(du\) non puoi ricavare \(u\) in maniera univoca (la ragione ultima è che una funzione ha tante primitive che hanno per derivata quella funzione). Tanto più che a volte la forma di \(\Omega\) rende difficile o impossibile l'integrazione (cioè, in questo caso specifico sai che la forma è il differenziale di \(u\), ma se io ti scrivo una forma differenziale $\alpha$ a caso e ti chiedo di trovare la \(u\) tale per cui \(\alpha=du\) che fai?).