Forma differenziale
Ciao a tutti, potreste aiutarmi con questo esercizio sullo studio di una forma differenziale?
La forma differenziale è: $ w = (xe^(x^2+y^2)-y/(x^2+y^2)) dy + (ye^(x^2+y^2)+x/(x^2+y^2)) dy $
Devo poi calcolare l'integrale curvilineo esteso all'arco di curva $ gamma(y)=(t,e^t), t [1,2] $ orientato nel verso delle $ t $ crescenti.
Innanzitutto ho fatto le derivate in croce, ma non mi vengono uguali: dunque, la forma differenziale non risulta essere chiusa e dunque nemmeno esatta. Pertanto, non posso trovare una primitiva e anche la seconda richiesta del problema non è possibile eseguirla. Sbaglio qualcosa?
La forma differenziale è: $ w = (xe^(x^2+y^2)-y/(x^2+y^2)) dy + (ye^(x^2+y^2)+x/(x^2+y^2)) dy $
Devo poi calcolare l'integrale curvilineo esteso all'arco di curva $ gamma(y)=(t,e^t), t [1,2] $ orientato nel verso delle $ t $ crescenti.
Innanzitutto ho fatto le derivate in croce, ma non mi vengono uguali: dunque, la forma differenziale non risulta essere chiusa e dunque nemmeno esatta. Pertanto, non posso trovare una primitiva e anche la seconda richiesta del problema non è possibile eseguirla. Sbaglio qualcosa?
Risposte
Se davvero la forma non è chiusa, allora è vero che non ci sono primitive, ma puoi sempre calcolare l'integrale su \(\gamma\) usando la definizione. (Ma secondo me hai sbagliato i calcoli)
Cambia coordinate e usa quelle polari, probabilmente viene un conto piu facile.
"killing_buddha":
Cambia coordinate e usa quelle polari, probabilmente viene un conto piu facile.
[ot]Io infatti farei così:
\[
\omega=(xe^{x^2+y^2}dx + ye^{x^2+y^2}dy) + \frac{-y}{x^2+y^2}dx + \frac{x}{x^2+y^2}dy,\]
ovvero
\[
\omega=d(\frac{e^{x^2+y^2}}{2}) + d\theta, \]
dove \(\theta\) è la coordinata polare. Ma ci vuole un po' di pratica per arrivare a questo tipo di ragionamenti. Non credo che li consiglierei al me stesso di quando preparavo l'esame.[/ot]
Purtroppo non abbiamo fatto il passaggio a coordinate polari per quanto riguarda le forme differenziali.
Comunque, le derivate in croce mi vengono, rispettivamente:
$ 2xye^(x^2+y^2)-1/(x^2+y^2)+(2y^2)/(x^2+y^2)^2 $
e
$ 2xye^(x^2+y^2)+1/(x^2+y^2)-(2x^2)/(x^2+y^2)^2 $
Dunque, la forma non è chiusa. Questo è corretto?
Comunque, le derivate in croce mi vengono, rispettivamente:
$ 2xye^(x^2+y^2)-1/(x^2+y^2)+(2y^2)/(x^2+y^2)^2 $
e
$ 2xye^(x^2+y^2)+1/(x^2+y^2)-(2x^2)/(x^2+y^2)^2 $
Dunque, la forma non è chiusa. Questo è corretto?
Finisci di fare il conto, non fare il pigro. Questi sono errori proprio da quattro soldi, attenzione.
Giusto! Stupidissima disattenzione da parte mia, chiedo scusa.
Comunque sono riuscito a fare tutto, vorrei solo avere alcuni chiarimenti:
- L'insieme di definizione della forma differenziale è semplicemente connesso? Come faccio a vederlo in maniera rapida? A me sembra di sì.
- Per quanto riguarda il secondo quesito (quello dell'integrale curvilineo), gli estremi di integrazione superiore ed inferiore sono, rispettivamente, $ Q=(1,e) $ e $ P=(2,e^2) $, giusto? Quindi basta che vado a valutare la primitiva che ho trovato nei due estremi di integrazione.
Comunque sono riuscito a fare tutto, vorrei solo avere alcuni chiarimenti:
- L'insieme di definizione della forma differenziale è semplicemente connesso? Come faccio a vederlo in maniera rapida? A me sembra di sì.
- Per quanto riguarda il secondo quesito (quello dell'integrale curvilineo), gli estremi di integrazione superiore ed inferiore sono, rispettivamente, $ Q=(1,e) $ e $ P=(2,e^2) $, giusto? Quindi basta che vado a valutare la primitiva che ho trovato nei due estremi di integrazione.
L'insieme di definizione della forma differenziale è semplicemente connesso? Come faccio a vederlo in maniera rapida? A me sembra di sì.
Chiaramente no, non lo è.
Non esiste un modo "rapido" a parte l'esperienza: certi sottoinsiemi del piano sono evidentemente non semplicemente connessi (come in questo caso, il piano bucato, perché retrae per deformazione a $S^1$ e $\pi_1(S^1)\cong \mathbb Z$; allo stesso modo, $RR^2$ a cui hai tolto $n$ punti retrae a un bouquet di cerchi \(X=S^1\lor \dots \lor S^1\), e \(\pi_1(X)\cong \mathbb Z* \dots * \mathbb Z\)).
"killing_buddha":L'insieme di definizione della forma differenziale è semplicemente connesso? Come faccio a vederlo in maniera rapida? A me sembra di sì.
Chiaramente no, non lo è.
Non esiste un modo "rapido" a parte l'esperienza: certi sottoinsiemi del piano sono evidentemente non semplicemente connessi (come in questo caso, il piano bucato, perché retrae per deformazione a $S^1$ e $\pi_1(S^1)\cong \mathbb Z$; allo stesso modo, $RR^2$ a cui hai tolto $n$ punti retrae a un bouquet di cerchi \(X=S^1\lor \dots \lor S^1\), e \(\pi_1(X)\cong \mathbb Z* \dots * \mathbb Z\)).
Capisco, grazie, ma risulta essere almeno localmente connesso, giusto?
Invece, per quanto riguarda il secondo quesito? E' corretto il ragionamento?
risulta essere almeno localmente connesso
Mi sembra ovvio.
"killing_buddha":risulta essere almeno localmente connesso
Mi sembra ovvio.
Benissimo, grazie ancora
Dunque quando una forma differenziale è chiusa l'insieme risulta essere almeno localmente connesso, è corretto?
Dunque quando una forma differenziale è chiusa l'insieme risulta essere almeno localmente connesso
Questa domanda non ha alcun senso.
Le varietà (cioè gli spazi dove ha senso definire una forma differenziale) sono localmente connesse (perché le palle sono connesse per archi).
Oltre alle preoccupazioni topologiche di KB, c'è anche questo:
E che primitiva hai trovato?
"floyd123":
Quindi basta che vado a valutare la primitiva che ho trovato nei due estremi di integrazione.
E che primitiva hai trovato?
Ok, grazie KB!
dissonance, la primitiva che ho trovato (o meglio, famiglia delle primitive) è: $ f(x,y) = 1/2 e^(x^2+y^2) - arctg(x/y) + k $
dissonance, la primitiva che ho trovato (o meglio, famiglia delle primitive) è: $ f(x,y) = 1/2 e^(x^2+y^2) - arctg(x/y) + k $
Occhio che quella primitiva non ha senso per \(y=0\). È normale, quella forma differenziale non ammette una primitiva globale. Questo può succedere quando il dominio non è semplicemente connesso, come in questo caso.
"dissonance":
Occhio che quella primitiva non ha senso per \(y=0\). È normale, quella forma differenziale non ammette una primitiva globale. Questo può succedere quando il dominio non è semplicemente connesso, come in questo caso.
Tutto chiaro! Grazie
"floyd123":
La forma differenziale è: $ w = (xe^(x^2+y^2)-y/(x^2+y^2)) dy + (ye^(x^2+y^2)+x/(x^2+y^2)) dy $
Questa forma differenziale non può essere esatta: è la somma di due forme differenziali, la prima coomologa a zero (una primitiva l'hai trovata), e la seconda però è il generatore canonico di \(H^1_\text{dR}(S^1,\mathbb R)\cong \mathbb R\), e quindi non può essere zero.
A conferma di ciò, se fosse esatta, sarebbe vero che \(\int_\gamma \omega=0\) lungo ogni cammino che allaccia lo zero. Accendere Mathematica mezzo secondo, però, ti mostra che tale integrale, sulla circonferenza di raggio 1, fa $\ne 0$ (quanto esattamente dipende da come parametrizzi la curva, ma sarà sempre diverso da zero).
"killing_buddha":
[quote="floyd123"]La forma differenziale è: $ w = (xe^(x^2+y^2)-y/(x^2+y^2)) dy + (ye^(x^2+y^2)+x/(x^2+y^2)) dy $
Questa forma differenziale non può essere esatta: è la somma di due forme differenziali, la prima coomologa a zero (una primitiva l'hai trovata), e la seconda però è il generatore canonico di \(H^1_\text{dR}(S^1,\mathbb R)\cong \mathbb R\), e quindi non può essere zero.
A conferma di ciò, se fosse esatta, sarebbe vero che \(\int_\gamma \omega=0\) lungo ogni cammino che allaccia lo zero. Accendere Mathematica mezzo secondo, però, ti mostra che tale integrale, sulla circonferenza di raggio 1, fa $\ne 0$ (quanto esattamente dipende da come parametrizzi la curva, ma sarà sempre diverso da zero).[/quote]
Purtroppo non siamo arrivati a questo livello di approfondimento, ma grazie infinite per la spiegazione
Una prerogativa delle forme differenziali esatte è di fare zero se le integri lungo un cammino chiuso.
Un teorema (il "lemma di Poincaré") ti dice che ogni forma differenziale è localmente esatta, cioè che almeno localmente ne puoi trovare una primitiva.
Poterla trovare anche globalmente è qualcosa che ti è permesso da una proprietà topologica del dominio su cui la forma è definita: la semplice connessione (che è una condizione sufficiente affinché tutte le forme chiuse siano globalmente esatte).
Ora, come si tiene conto dell'esattezza delle forme differenziali chiuse? E' semplice: le forme differenziali \(\Omega^1(U)\) su un aperto $U$ (facciamo un aperto del piano $RR^2$) formano uno spazio vettoriale.
C'è una operazione detta di "derivazione esterna" che prende una forma differenziale e restituisce un oggetto simile che ha per componenti le derivate incrociate di cui ti preoccupi volta per volta di controllare la nullità. La derivazione, in quanto derivazione, è lineare, quindi le forme "chiuse" (il suo nucleo) sono un sottospazio delle forme differenziali; lo chiamo $Z^1(U)$. Alcune forme sono chiuse per una ragione banale: sono differenziali totali di funzioni $C\infty$. Queste le chiami "esatte", e le raccogli in un altro sottospazio $B^1(U)$.
Ad $U$ associ uno spazio vettoriale reale, si chiama il "primo gruppo di coomologia di de Rham" di $U$, \(H^1_\text{dR}(U)\) facendo il quoziente \(Z^1(U)/B^1(U)\) e vedendo cosa viene fuori: ciò che hai fatto è stato conservare tutte le forme chiuse, che però non sono esatte; tanto più è alta la dimensione di $H^1$, tante più forme chiuse ma non esatte esistono. Nel caso del piano bucato (che retrae per deformazione alla circonferenza: si dimostra, ma non è ovvio, che se $U$ e $V$ sono omotopicamente equivalenti allora hanno lo stesso $H^1$), questo spazio ha dimensione $1$: tutte le forme chiuse, ma non esatte, sono un multiplo scalare di $d\theta$.
Un teorema (il "lemma di Poincaré") ti dice che ogni forma differenziale è localmente esatta, cioè che almeno localmente ne puoi trovare una primitiva.
Poterla trovare anche globalmente è qualcosa che ti è permesso da una proprietà topologica del dominio su cui la forma è definita: la semplice connessione (che è una condizione sufficiente affinché tutte le forme chiuse siano globalmente esatte).
Ora, come si tiene conto dell'esattezza delle forme differenziali chiuse? E' semplice: le forme differenziali \(\Omega^1(U)\) su un aperto $U$ (facciamo un aperto del piano $RR^2$) formano uno spazio vettoriale.
C'è una operazione detta di "derivazione esterna" che prende una forma differenziale e restituisce un oggetto simile che ha per componenti le derivate incrociate di cui ti preoccupi volta per volta di controllare la nullità. La derivazione, in quanto derivazione, è lineare, quindi le forme "chiuse" (il suo nucleo) sono un sottospazio delle forme differenziali; lo chiamo $Z^1(U)$. Alcune forme sono chiuse per una ragione banale: sono differenziali totali di funzioni $C\infty$. Queste le chiami "esatte", e le raccogli in un altro sottospazio $B^1(U)$.
Ad $U$ associ uno spazio vettoriale reale, si chiama il "primo gruppo di coomologia di de Rham" di $U$, \(H^1_\text{dR}(U)\) facendo il quoziente \(Z^1(U)/B^1(U)\) e vedendo cosa viene fuori: ciò che hai fatto è stato conservare tutte le forme chiuse, che però non sono esatte; tanto più è alta la dimensione di $H^1$, tante più forme chiuse ma non esatte esistono. Nel caso del piano bucato (che retrae per deformazione alla circonferenza: si dimostra, ma non è ovvio, che se $U$ e $V$ sono omotopicamente equivalenti allora hanno lo stesso $H^1$), questo spazio ha dimensione $1$: tutte le forme chiuse, ma non esatte, sono un multiplo scalare di $d\theta$.
Molte grazie, KB, mi sono reso conto che c'è molto più di quello che pensavo dietro lo studio di una forma differenziale
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