Forma differenziale

[Alexmath993]

Sapendo che $ g(x,0)=2x $, determinare g in modo che la forma $g(x,y)dx+(2+y)e^(x+y)dy$ sia esatta in $R^2$

Come si svolge ? sul Marcellini - Sbordone non c'è traccia di esercizi vagamente simili a questo..

[Luca.Lussardi]

Comincia a vedere la chiusura della forma..

[Alexmath993]

Come valuto la chiusura se non posso verificare l'uguaglianza delle derivate parziali??

[Berationalgetreal]

"Alexmath993":Come valuto la chiusura se non posso verificare l'uguaglianza delle derivate parziali??

È proprio lì la questione. Se una forma non è chiusa, non può essere esatta (in generale non vale il viceversa), quindi devi risolvere il problema:

$$ \begin{cases} \frac {\partial g(x,y)}{\partial y} = (2+y) e^{x + y} \\ g(x,0) = 2x \end{cases} $$

La prima equazione esprime la chiusura (la derivata della funzione nota rispetto ad $x$ è se stessa, come puoi verificare), la seconda la condizione che ti viene data. Risolvendo (sostanzialmente, basta integrare da entrambe le parti rispetto ad $y$ la prima equazione e poi imporre la condizione iniziale), troverai la funzione per cui quella forma è chiusa. Poi, servendoti di un certo teorema, che dovresti conoscere, verificherai l'esattezza.